Сведение криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру к двойному интегралу. Формула Грина

Имеет место следующее утверждение.

Теорема Грина.Пусть односвязная ограниченная область в с кусочно гладкой границей (в этом случае замкнутый контур) и пусть функции и и их частные производные непрерывны в Тогда имеет место равенство

Здесь контур обходится так, чтобы область оставалась слева от наблюдателя, идущему по этому контуру.

Доказательствопроведем для области правильной в направлениях осей и с гладкой границей В этом случае область может быть описана двумя способами:

Поле можно записать в виде В силу линейности интеграла получаем, что

Преобразуем каждый из стоящих здесь интегралов:

Следовательно,

Аналогично показываем, что поэтому (согласно (4)) верно равенство (3).

Теорема доказана.

Пример 1 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка от точки к точке .

Решение.Вычисления разобьём на две части: сначала вычис-лим работу от точки до точки , затем – от точки до точки

Значит,

Пример 2.Вычислить криволинейный интеграл если контур треугольника с вершинами пробегаемый против часовой стрелки.

Решение.Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина:

.

Интеграл численно равен площади . Так как , то