Поверхностный интеграл

Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска . Обозначим .

Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают

Теорема 1.Если поверхность задана уравнением и функции

непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то

Доказательствоследует из равенства

и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь

Теорема доказана.

Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.

2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность

Пусть некоторая область в пространстве

Определение 2.Говорят, что в области задано векторное поле если в каждой точке определен вектор

Это определение не зависит от выбора системы координат в Если в выбрана декартова система координат, то каждой точке ставится в соответствие вектор

Примеры векторных полей: а) скорость движущейся жидкости в точке (векторное полей скоростей жидкости); б) гравитационное поле (здесь тело массой находится в точке а тело массой в точке , гравитационная постоянная).

Векторное поле называеется непрерывным (кусочно непрерывным, гладким, непрерывно дифференцируемым) в области , если все его компоненты непрерывны (соответственно: кусочно непрерывны, гладки, непрерывно дифференцируемы) в области .

Пусть векторное поле определено в области .

Определение 3. Линия называется векторной линией поля если в каждой точке поле касается кривой Поверхность называется векторной трубкой поля если она сплошь состоит из векторных линий этого поля.

Теорема 2. Пусть поле непрерывно дифференци-

руемо в области . Если параметрические уравнения векторной линии поля то для всех выполняются равенства

Обратно: если кривая удовлетворяет соотношени-

ям (1), то векторная линия поля (уравнения (2) называются уравнениями векторных линий поля ).

Действительно, равенства (2) (если в них подставить уравнения линии ) выражают условия коллинеарности векторов и в одной и той же точке Значит, линия касается поля .

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность и пусть в каждой точке этой поверхности существует нормаль. На этой нормали можно выбрать два единичных вектора: и

Определение 4.Если при движении точки по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не пересекающему её границы , единичный вектор непрерывно изменяется и возвращается в точку с первоначальным направлением, то говорят, что поверхность яв-

ляется двухсторонней. При этом сторона поверхности, определяемая вектором , называется внешней (или верхней) стороной поверхности (обозначение: ), а сторона поверхности, определяемая вектором называется внутренней (или нижней) стороной поверхности (обозначение: ). Векторы и называются ориентациями поверхности , а сама поверхность называется ориентируемой поверхностью.

Если же на поверхности найдётся хотя бы один замкнутый контур, при движении на котором единичный вектор возвращается в точку с противоположным направлением, то говорят, что поверхность является односторонней или неориентируемой

поверхностью.

Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса, который получается из прямоугольной полоски склеванием ее боковых после однократного их перекручивания. Перейдем к понятию потока векторного поля. Пусть дана двухсторонняя поверхность и выбрана та её сторона, которая ориентирована единичной нормалью

Определение 4.Потоком векторного поля через поверхность с ориентацией называется поверхностный интеграл

(здесь скалярное произведение векторов и ).

Это определение потока не зависит от выбора системы координат. Если выбрана прямоугольная система координат, то

и поток можно записать в виде . Обозначив

перепишем предыдущее равенство в виде

В таком виде поток записан в форме поверхностного интеграла второго рода (по координатам). Все три формы записи потока встречаются в математической литературе. Мы будем пользоваться первой формой записи, указанной в определении 4.

Из свойств поверхностного интеграла первого рода вытекают аналогичные свойства потока как поверхностного интеграла второго рода (линейность, аддитивность и т.д). Единственным отличием этих свойствах является то, что интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности а интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны поверхности: (это вытекает из определения 4). Дадим формулу вычисления потока.

Теорема 3. Пусть поверхность, задаваемая уравнением причем эта поверхность является гладкой, т.е. функции непрерывны в замкнутой ограниченной области Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на поверхности Тогда

где знак (+) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором а знак (–) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором

Доказательство.Пусть поверхность ориентирована вектором Учитывая, что раскроем в (3) скалярное произведение: По теореме 1 имеем

Теорема доказана.

Замечание 1.Если поверхность задана неявно уравнением (где функции непрерывны, причем в области в которой лежит поверхность ), то

При этом знак выбирается в соответствии с ориентацией поверхности .

Дадим гидромеханический смысл потока:если векторное поле скоростей жидкости, то равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с ориентацией, определяемой нормалью

Пример 1 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Найти поток векторного поля через поверхность вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Решение.Так как то нормаль к боковой поверхности (конуса) будет иметь вид Выбор нормали должен быть таким, чтобы Так как в нашем случае на поверхности , то надо взять знак (+). Таким образом, нормаль будет такой: Здесь мы учли, что на поверхности выполняется равенство . Далее имеем

Область является проекцией поверхности на плоскость т.е. является кругом радиуса поэтому