В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у,z.
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины drс внутренним радиусом rи внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра 
(так как 
то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от
оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 
Если
р — плотность материала, то 
Тогда момент инерции
Сплошного цилиндра
но так как 
— объем цилиндра, то его 
массаа 
момент инерции
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:
(16.1)
В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).
Таблица 1
| Тело | Положение оси | Момент инерции | |
| Полый тонкостенный цилиндр | Ось симметрии | mR2 | |
| радиусом R | |||
| Сплошной цилиндр или диск ра- | То же | ||
| диусом R | |||
| Прямой тонкий стержень дли- | Ось перпендикулярна стержню | 1/12ml2 | |
| ной / | и | проходит через его середину | |
| Прямой тонкий стержень дли- | Ось перпендикулярна стержню | 1/3ml2 | |
| ной / | и | проходит через его конец | |
| Шар радиусом R | Ось проходит через центр шара | 2/5mR2 |
|
|
Дата добавления: 2017-04-20; просмотров: 999;