III. Линейность неопределенного интеграла.

Теорема 1. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: , где – постоянная.

Совокупность теорем 1,2 называется свойством линейности неопределенного интеграла.

Пусть и – функции, и – числа. Тогда функция называется линейной комбинацией и c числами и . Из теорем 1 и 2 следует, что неопределенный интеграл от линейной комбинации данных функций с данными числами равен линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций с теми же числами:

.

Понятие линейной комбинации распространяется на любое конечное число функций. Для случая функций и будем иметь:

IV. Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Таблица простейших интегралов.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

Доказательство любого из этих равенств сводится к определению неопределенного интеграла и к соответствующей формуле из таблицы производных.

Например, при .

Значит, функция – первообразная для и согласно определению неопределенного интеграла: , при .

Приведем доказательство формулы 5 таблицы: .

Согласно определению понятия модуля имеем, что

Значит

Для и согласно теореме о производной от сложной функции:

Таким образом, при всех . Значит, – первообразная для функции .

На основании определения неопределенного интеграла убеждаемся в справедливости формулы 5.

Примеры.

.

.

Первообразные и отличаются на постоянное слагаемое, так как

.

Процесс отыскания неопределенного интеграла от функции с использованием таблицы первообразных называется непосредственным интегрированием этой функции.