Понятие первообразной, неопределенного интеграла.

С первых классов школы мы привыкли к тому, что в математике все операции парные – прямые и обратные: сложение­-вычитание, умножение-деление, возведение в степень - извлечение корня, логарифмирование - потенцирование, и т.д. При этом именно наличие обратного действия позволяет решать наиболее содержательные задачи. Вы знаете, что одной из важнейших для приложений математического анализа операций является операция дифференцирования. Обратной для этой операции является операция интегрирования. Эту операцию и ее приложения мы и будем изучать в теме «Интегральное исчисление».

Основной задачей интегрального исчисления является задача отыскания функции F(x) по известной ее производной F¢(x). Например, если известна зависимость ускорения a(t) движущейся прямолинейно точки от времени и требуется выяснить характер изменения скорости этой точки, то задача сводится к отысканию функции v(t) по известной ее производной:

Определение 15. 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором множестве Х изменения переменной х, если "хÎХ выполняется условие F¢(x) = f(x)

Например, f(x) = 3х², тогда F(x) = х³ является первообразной этой функции на всей числовой прямой, т.к. " х F¢(x) = (х³)¢ = 3х² = f(x). Но для этой функции первообразной являются , очевидно и функции F₁(x) = х³+2, F₂(x) = х³–4 и вообще любая функция вида F(x) = х³+С, где С – " константа.

Таким образом, первообразная для заданной функции определяется неоднозначно. Справедлива

Теорема15.1.

а) Если функция F(x) есть первообразная для f(x) на некотором множестве, то и функция F(x)+С, где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для f(x) на этом множестве.

б) Если функции F(x) и Ф(х) – первообразные для функции f(x) на некотором множестве, то они отличаются друг от друга лишь на константу:

F(x) = Ф(х) + С, С – константа.

Доказательство: а) Пусть F(x) – первообразная для f(x), значит F¢(x) = f(x). Но тогда (F(x) +С)¢ = F¢(x) + С¢ = f(x) + 0 = f(x) – это и означает, что функция F(x) +С также является первообразной для f(x).

б) Пусть F(x) и Ф(х) – первообразные для функции f(x), т.е. F¢(x) = f(x) и Ф¢(х) = f(x) на некотором множестве Х . Рассмотрим разность j(х) = Ф(х) – F(x). Тогда

j¢(х) = Ф¢(х) – F¢(x) = f(x) – f(x) = 0 "хÎХ.

Так как функция j(х) дифференцируема на Х, то к ней применима теорема Лагранжа: "[a; х]ÎX $ xÎ[a; х] такая, что , но т.к.j¢(х) = 0 "хÎХ, то и j¢(x) = 0. Значит j(х) – j(а) = 0 или j(х) = j(а) "a, х ÎX, следовательно, j(х) – постоянная, т.е. j(х) = С, С–const. Таким образом, Ф(х) – F(x) = С, или F(x) = Ф(х) + С, ч.т.д.

Из теоремы следует, что если F(x) – какая-либо первообразная функции f(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x) +С, где С – некоторая константа.

Определение 15.2. Выражение вида F(x) +С, где F(x) – первообразная функции f(x), а С – произвольная константа, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

Таким образом, по определению

= F(x) +С,

здесь знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Неопределенный интеграл есть семейство всех первообразных для заданной функции .

Как следует из теоремы 14.1, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, достаточно найти одну из ее первообразных. Операция нахождения неопределенного интеграла называется операцией интегрирования.

Пусть F(x) – первообразная функции f(x), а график ее есть линия у = F(x). Тогда в каждой точке этой кривой угол наклона касательной определяется условием tga = F¢(x) = f(x) . Значит, геометрически первообразная для функции f(x) есть кривая, имеющая в каждой точке (х, у) заданный наклон касательной. Очевидно, таких кривых бесчисленное множество. Неопределенный интеграл геометрически представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается параллельным сдвигом вдоль оси ОУ из одной известной кривой у = F(x) (рис.1.)

Для всякой ли функции существует первообразная? Оказывается - нет.

Теорема15. 2(достаточное условие существования первообразной)

Если функция f(x) непрерывна на множестве Х, то для нее на этом множестве существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

Сравните эти условия с необходимым условием дифференцируемости функции одной переменной: если функция дифференцируема, то она непрерывна.