Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части

. (4.9)

Угловая часть содержит квадрат момента импульса . Радиальная часть оператора Лапласа

(4.10)

выражается через радиальный импульс

. (4.11)

Выполняется

, . (4.12)

Доказательство соотношений (4.10) – (4.12) выносится на практические занятия.

Повышающий и понижающий операторы

(4.13)

ступенчато изменяют собственные функции и собственные значения оператора и удовлетворяют соотношениям

,

, (4.14)

, (4.15)

. (4.16)

Оператор поворота поворачивает углового состояния частицы вокруг оси z на угол a

. (4.17)

Получим выражение оператора, разлагая в ряд Тейлора и учитывая (4.7)

= .

Сравниваем с (4.17), находим

. (4.18)

где .

Обобщаем (4.18) на случай поворота вокруг единичного вектора nна угол a, отсчитываемый по правилу правого винта, получаем

, (4.19)

где оператор момента импульса является генератором поворота состояния частицы.

Сферическая функция

Сферическая функция является собственнойфункцией взаимно коммутирующих операторов и

, (4.20)

, (4.21)

где – магнитное квантовое число, определяет проекцию орбитального момента L на ось z

.