Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части
. (4.9)
Угловая часть содержит квадрат момента импульса . Радиальная часть оператора Лапласа
(4.10)
выражается через радиальный импульс
. (4.11)
Выполняется
,
. (4.12)
Доказательство соотношений (4.10) – (4.12) выносится на практические занятия.
Повышающий и понижающий операторы
(4.13)
ступенчато изменяют собственные функции и собственные значения оператора и удовлетворяют соотношениям
,
, (4.14)
, (4.15)
. (4.16)
Оператор поворота поворачивает углового состояния частицы
вокруг оси z на угол a
. (4.17)
Получим выражение оператора, разлагая в ряд Тейлора и учитывая (4.7)
=
.
Сравниваем с (4.17), находим
. (4.18)
где .
Обобщаем (4.18) на случай поворота вокруг единичного вектора nна угол a, отсчитываемый по правилу правого винта, получаем
, (4.19)
где оператор момента импульса является генератором поворота состояния частицы.
Сферическая функция
Сферическая функция является собственнойфункцией взаимно коммутирующих операторов
и
, (4.20)
, (4.21)
где – магнитное квантовое число, определяет проекцию орбитального момента L на ось z
.