Орбитальное квантовое число определяет модуль орбитального момента L
. (4.22)
Состояния обозначаются в спектроскопии буквами s, p, d, f от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный.
Количество проекций L на ось z равно числу возможных значений , в результате число проекций
.
Направление L определяется углом θ с осью z. Угол квантуется
. (4.23)
Пространственное квантование при l = 3
Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция вектора не может превышать его модуль
,
тогда из (4.23) находим
,
.
Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним
и
, которые дают вклад в
, поэтому
.
Из (4.15)
и (4.21)
получаем
.
Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями
, то есть
повышает у состояния число m на единицу, а
понижает на единицу.
Выполняется
, (4.24)
полученное в курсе «Методы математической физики».
Выражение для сферической функции . В сферических координатах изменения углов θ и φ происходят независимо, поэтому функция состояния факторизуется
.
В уравнение на собственную функцию (4.21)
подставляем оператор (4.7)
получаем уравнение
. (4.25)
Накладываем условие периодичности
. (4.26)
Из (4.25) и (4.26) получаем
,
(4.27)
Условие периодичности (4.26) привело к квантованию числа m. На основании
функции , где
, удовлетворяют условию ортонормированности
. (4.28)
Для оператора квадрата момента импульса (4.8)
уравнение на собственную функцию (4.20)
дает дифференциальное уравнение
.
Решение в виде
с учетом (4.27)
приводит к уравнению для
. (4.29)
Уравнение совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра , тогда
,
.
Постоянный множитель определяется из условия нормировки
,
.
В результате
. (4.30)
Выполняются
, (4.31)
,
,
, (4.32)
и условие ортонормированности
. (4.33)
Инверсия координат соответствует замене
,
,
тогда
. (4.34)
Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части | | | КОНСТРУКЦИЯ РЕДУКТОРА |