Орбитальное квантовое число определяет модуль орбитального момента L

. (4.22)

 

Состояния обозначаются в спектроскопии буквами s, p, d, f от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный.

Количество проекций L на ось z равно числу возможных значений , в результате число проекций

 

.

 

Направление L определяется углом θ с осью z. Угол квантуется

 

. (4.23)

 

Пространственное квантование при l = 3

Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция вектора не может превышать его модуль

 

,

тогда из (4.23) находим

, .

 

Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним и , которые дают вклад в , поэтому .

Из (4.15)

и (4.21)

получаем

.

 

Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , то есть повышает у состояния число m на единицу, а понижает на единицу.

Выполняется

, (4.24)

 

полученное в курсе «Методы математической физики».

Выражение для сферической функции . В сферических координатах изменения углов θ и φ происходят независимо, поэтому функция состояния факторизуется

 

.

 

В уравнение на собственную функцию (4.21)

 

 

подставляем оператор (4.7)

получаем уравнение

. (4.25)

 

Накладываем условие периодичности

 

. (4.26)

 

Из (4.25) и (4.26) получаем

 

, (4.27)

 

Условие периодичности (4.26) привело к квантованию числа m. На основании

 

функции , где , удовлетворяют условию ортонормированности

. (4.28)

 

Для оператора квадрата момента импульса (4.8)

 

 

уравнение на собственную функцию (4.20)

 

 

дает дифференциальное уравнение

 

.

 

Решение в виде

с учетом (4.27)

 

приводит к уравнению для

 

. (4.29)

 

Уравнение совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра , тогда ,

 

.

 

Постоянный множитель определяется из условия нормировки

 

, .

В результате

. (4.30)

Выполняются

, (4.31)

 

, ,

 

, (4.32)

 

и условие ортонормированности

 

. (4.33)

 

Инверсия координат соответствует замене

 

, ,

 

 

тогда

. (4.34)

 

Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части | КОНСТРУКЦИЯ РЕДУКТОРА




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 41; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.