Линейная парная регрессия

Методы и модели регрессионного анализа занимают центральное место в математическом инструментарии эконометрики. Наиболее часто используется парная регрессия, когда рассматривается пара переменных: одна объясняющая (синонимы - входная, экзогенная, регрессор) переменная Х и одна – объясняемая (синонимы - выходная, результирующая) переменная Y – обязательно случайная величина.

Регрессией называют функцию, отражающую зависимость математического ожидания (МО) СВ Y от значений Х (такую зависимость называют также корреляционной). По определению регрессия есть условное МО СВ Y:

 

Мх(Y) = j(х). (2.1)

 

На практике точно не известно условное МО СВ Y, т.е. функция j(х). Поэтому можно говорить лишь о приближенном построении - оценке такой функции. Исходными данными для этого служат n пар значений Х и Y: xi и yi при i=1, 2, ... , n.

В случае парной линейной регрессии в качестве оценки - выборочного уравнения регрессии - принимается прямая линия:

 

= bo +b1x. (2.2)

 

Неизвестные параметры bo и b1, как правило, определяются методом наименьших квадратов: значения параметров должны доставлять минимум сумме квадратов отклонений наблюденных значений yi от теоретических значений , определяемых регрессией (2.2):

 

S(bo, b1) = å ( - yi)2 = å (bo +b1xi - yi)2 ® min. (2.3)

 

Теоретически для оценки параметров bo и b1 можно использовать и метод наименьших модулей отклонений å ç - yiç. Однако метод наименьших квадратов (МНК), во-первых, проще, во-вторых, его применение обосновывается законом больших чисел, в-третьих, позволяет проводить глубокий анализ качества эконометрической модели.

Для отыскания значений параметров bo и b1 эконометрической модели (2.2) с помощью МНК приравниваем нулю частные производные S по bo и b1 и получаем систему двух уравнений:

 

¶S/¶ bo = 2å (bo +b1xi - yi) = 0 ¶S/¶ b1 = 2å (bo +b1xi - yi) xi = 0. (2.4)

 

Отсюда после преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными bo и b1:

 

bon + b1åxi = å yi, boåxi + b1å = å xi yi. (2.5)

 

Разделим 1-е уравнение на n и получим полезное соотношение: линия регрессии проходит через точку средних значений ( , ):

 

= bo +b1 . (2.6)

 

Разрешая (2.6) относительно bo , подставляя это значение во 2-е уравнение системы (2.5), получим искомые формулы для расчета значений параметров уравнения регрессии:

 

bo = - b1   b1 = (2.7)

 

где sx2 - выборочная дисперсия переменной Х:

 

= å /n - ( )2. (2.8)

 

- выборочная ковариация:

 

= å xi yi /n - (2.9)

Параметр b1 называется коэффициентом регрессии (выборочным). Он показывает, на сколько единиц в среднем возрастет (уменьшится) при увеличении х на одну единицу.

Параметр b0 в зависимости от задачи может иметь смысл, а может и не иметь. Например, если - расход электроэнергии, а х – объем производства, то параметр b0 - условно-постоянный расход электроэнергии при нулевом производстве. Если b0<0, то экономического смысла он, как правило, не имеет.

Пример 2.1 [4, с.10]. Построить уравнение парной линейной регрессии для данных табл. 2.1, где Y - расходы на покупку продовольственных товаров, % от общих расходов и Х - среднедневная зарплата, руб./чел.×сут.

Таблица 2.1


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Этапы эконометрического моделирования | Условные данные по субъектам России за 199Хг.




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 108; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.