Связь коэффициентов регрессии и корреляции

Если значение b_o из формул (2.7) подставить в уравнение регрессии (2.2)_, то после преобразований получим уравнение регрессии в отклонениях (прямая проходит через начало координат - точку ( )).

Преобразуем это уравнение: разделим обе части на s_y, умножим и разделим правую часть на s_x, получим:

.

Другой вариант формулы для расчета r:

.

(2.12)

Статистика r - выборочный коэффициент корреляции - отражает тесноту статистической связи случайных величин Х и Y. Свойства коэффициента корреляции (рис. 2.1):

1. -1 £ r £ 1. Чем ближе модуль ç r ç к 1, тем теснее связь Х и Y.

2. Если r = ± 1, то связь между Х и Y - функциональная и линейная.

3. Если r = 0, то линейная корреляционная связь между СВ Х и Y отсутствует.

4. Коэффициент r является непосредственной оценкой генерального коэффициента корреляции r между Х и Y лишь в случае двухмерного НЗР случайной величины (Х, У). В других случаях r не является строгой мерой взаимосвязи переменных.

у у у

r = +1 r » +0,8 r » +0,5

х х х

а) б) в)

у r = -1 у r » -0,8 у r » -0,5

х х х

г) д) е)

Рис. 2.1. Примеры полей корреляции и значений r

Пример 2.2. По данным табл. 2.1 и примера 2.1 рассчитать значение коэффициента корреляции r. Для расчета используем формулу (2.11): r = b₁ s_x / s_y. Неизвестные СКО s_x и s_y рассчитаем по формулам и данным табл. 2.1:

.

.

Окончательно: r = b₁ s_x / s_y = -0,35×5.86 / 5,74 = -0,36.

Данное значение r характеризует связь между Х и Y как умеренную и обратную (см. рис. 2.1.е).