Доверительный интервал для функции регрессии
Доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного МО Мх(Y), с заданной доверительной вероятностью (надежностью) g=1-a должен покрыть неизвестное значение Мх(Y).
Представим уравнение регрессии в отклонениях в виде:
![]() ![]() ![]() | (2.21) |
Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ. Учитывая этот факт, а также то, что (х- ) - неслучайная величина, найдем выражение для дисперсии
:
![]() ![]() ![]() ![]() | (2.22) |
Найдем выражения для двух дисперсий правой части уравнения (2.22). Дисперсия выборочной средней :
![]() | (2.23) |
Дисперсия коэффициента регрессии :
![]() | (2.24) |
Суммируя уравнения (2.23) и (2.24), получаем искомую дисперсию (s2 заменена ее оценкой s2):
![]() | (2.25) |
Обратим внимание на то, что дисперсия (x) является функцией от переменной х, и зависимость эта квадратичная. Минимума дисперсия
(x) достигает при х =
, а по мере удаления х от своего среднего значения (и в меньшую, и в большую сторону) дисперсия возрастает пропорционально квадрату х (рис. 2.2).
Допуская предпосылки 1-5 регрессионного анализа, получаем статистику t = ( - Мх(Y)) /
, которая имеет t-распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Теперь можно построить доверительный интервал для условного МО Мх(Y):
![]() ![]() ![]() ![]() | (2.26) |
На рис. 2.2 изображены: прямая линия - условное МО Мх(Y) = j(х), две жирные дуги-параболы - это и есть границы доверительных интервалов для , тонким пунктиром показана “центральная” точка (
,
). Сплошные тонкие линии комментируются ниже.
![]() | |||
![]() | |||
![]() | x |
Рис. 2.2. Линии границ доверительных интервалов