Доверительный интервал для функции регрессии

Доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного МО М_х(Y), с заданной доверительной вероятностью (надежностью) g=1-a должен покрыть неизвестное значение М_х(Y).

Представим уравнение регрессии в отклонениях в виде:

= + b1(x - ).

(2.21)

Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ. Учитывая этот факт, а также то, что (х- ) - неслучайная величина, найдем выражение для дисперсии :

= + (x - )2.

(2.22)

Найдем выражения для двух дисперсий правой части уравнения (2.22). Дисперсия выборочной средней :

.

(2.23)

Дисперсия коэффициента регрессии :

.

(2.24)

Суммируя уравнения (2.23) и (2.24), получаем искомую дисперсию (s² заменена ее оценкой s²):

.

(2.25)

Обратим внимание на то, что дисперсия (x) является функцией от переменной х, и зависимость эта квадратичная. Минимума дисперсия (x) достигает при х = , а по мере удаления х от своего среднего значения (и в меньшую, и в большую сторону) дисперсия возрастает пропорционально квадрату х (рис. 2.2).

Допуская предпосылки 1-5 регрессионного анализа, получаем статистику t = ( - М_х(Y)) / , которая имеет t-распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Теперь можно построить доверительный интервал для условного МО М_х(Y):

- t1-a,k , £ Мх(Y) £ + t1-a, k .

(2.26)

На рис. 2.2 изображены: прямая линия - условное МО М_х(Y) = j(х), две жирные дуги-параболы - это и есть границы доверительных интервалов для , тонким пунктиром показана “центральная” точка ( , ). Сплошные тонкие линии комментируются ниже.

y
			x

Рис. 2.2. Линии границ доверительных интервалов