Паутинообразная модель

Функция спроса на товар является убывающей функцией цены, а функция предложения однопродуктовой фирмы, полученная при максимизации прибыли, -возрастающая функция цены.

Рассмотрим рынок с одним продуктом. Спрос на этот продукт характеризуется убывающей функцией совокупного спроса , а предложение - возрастающей функцией совокупного предложения . Эти функции определены и непрерывны для любого p > 0. Кроме этого считаем, что

Состояние равновесия имеет вид:

(1)

и имеет единственное решение , то есть

Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс приближения к равновесной цене. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена , при этом спрос оказался меньше предложения

Шаг 1. Понижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене:

При новой цене спрос превышает предложение:

Шаг 2. Понижаем цену до уровня р₂, при котором:

и т.д.

На рисунке видно, что процесс, описываемый рекуррентным соотношением сходится (функция - выпуклая, - вогнутая).

Если бы была выпуклой, то процесс расходился бы при единственном решении.

Модель Эванса

Рынок одного товара. Время t - непрерывно.

- совокупный спрос в момент времени t.

- совокупное предложение в момент времени t.

р = p(t) - цена товара.

Спрос и предложение - линейные функции цены.

, спрос с ростом цены убывает

, предложение с ростом цены растет

- при нулевой цене спрос превышает предложение. Основное предположение при моделировании, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением.

(2)

Согласно выражению (2) взаимодействие потребителей и производителей таково, что цена непрерывно возрастает, если спрос превышает предложение и падает в противном случае.

Перейдем от выражения (2) к дифференциальному уравнению относительно цены:

; (3)

Решение уравнения в точке равновесия (р^Е).

(4)

Из выражения (3) видно, что при и, наоборот, при , поэтому .

В первом случае цена достигает равновесного значения возрастая, во втором случае - убывая. При этом равновесная цена совершенно не зависит от р₀ -начальной. Равновесная цена - абсцисса точки пересечения прямых спроса и предложения.

В дискретном аналоге время разбито на промежутки , цена в момент равна:

(5)

Выводы, сделанные для дискретной модели, такие же, как и для решения дифференциального уравнения (3).

Решение уравнение (3) выглядит следующим образом:

Модель Вальраса

Концептуальная схема модели основана на следующем: каждый из участников экономической системы стремится достичь своих функционалов цели, поэтому возможны конфликты.

Для нормального функционирования всей системы необходимо согласовать стратегии структурных единиц между собой.

В модели Вальраса, имеющей конечное число потребителей и производителей, такое решение конфликта достигается регулированием системы цен.

Если структуры не влияют на цены, то рынок называют конкурентным.

Основная идея Вальраса в определении системы цен, обеспечивающей распределение ресурсов и продуктов на основе разделения конфликтов между участниками.

Такая равновесная ситуация называется конкурентным равновесием.

Рассмотрим рынок с потребителями производителями и n типами товаров - вектор-строка цен, - вектор-столбец товаров).

Товар - это предмет потребления, продукт труда, средство труда (оборудование, здания и т.д.), первичные ресурсы (труд и природные ресурсы).

Каждый потребитель обладает доходом К(р) и имеет поле предпочтения товаров, заданное в виде функции полезности u(х). Если обозначить х(р) - множество возможных наборов товаров, доступных потребителю при ценах p, Х- область определения u(х), то функция спроса потребителей задается:

т.е. функция спроса - это множество доступных наборов товаров, каждый из которых максимизирует полезность (потребителей) при заданных ценах p.

Каждый потребитель характеризуется функцией спроса и доходом . Доход складывается из двух частей:

1) доходов от продажи первоначального запаса ;

2) дохода в результате участия потребителя в производстве.

Таким образом, .

В векторе-столбце затрат-выпуска k-го производителя положительные компоненты соответствуют выпуску, а отрицательные - затратам.

Множество производственных возможностей у_к - это множество всех допустимых векторов затрат-выпуска.

Под функцией предложения фирмы понимают один или несколько векторов затрат-выпуска, которые при заданных ценах р максимизируют прибыль.

(2)

Вектор затрат всей системы: .

При таком суммировании компоненты вектора затрат-выпуска взаимно сокращаются, т.к. они положительны для производителей, и отрицательны для потребителей промежуточных продуктов.

В итоге в вектор у войдут с положительным знаком конечные продукты, с отрицательным - первичные ресурсы.

Распределение производства осуществляется выбором вектора затрат-выпуска y_k из технологического множества производственных возможностей Y_k для каждого производителя k = 1, ..., m. Сумма представляет собой совокупный производственный процесс.

Такие совокупные процессы образуют совокупное технологическое множество Y (общеэкономическое множество производственных мощностей).

Сумма по всем потребителям представляет совокупную первоначальную собственность.

В понятие начальной собственности входят потребительские товары, промежуточные продукты (предметы труда), капитальное оборудование (средства труда), земля и другие природные ресурсы, труд.

Множество {b} + Y — множество совокупного предложения.

Сумма - вектор совокупного спроса. Некоторые компоненты вектора могут быть отрицательными, если они представляют собой предложение (например, труда).

Под совместным распределением производства и потребления понимается такой набор векторов потребления и векторов затрат-выпуска, , для которого совокупный спрос совпадает с совокупным предложением:

. (3)

Набор задает конкурентное равновесие в модели Вальраса, если

(5)

(6)

При этом p^* называется вектором конкурентных цен.

Соотношения (5), (6) называют законом Вальраса в широком смысле, если же в выражении (5) имеет место равенство, то это закон Вальраса в узком смысле.

Таким образом, конкурентное равновесие представляет собой совместное распределение производства и потребления, при котором совокупный спрос не превосходит совокупного предложения (5), стоимость совокупного спроса в конкурентных ценах равна стоимости конкурентного предложения в этих же ценах (6), при этом каждый потребитель максимизирует свою полезность в ценах p^*, а каждый производитель - свою прибыль в этих же ценах (4).

Таким образом, существование конкурентного равновесия означает существование такой системы равновесных (конкурентных) цен p^*, при которых согласуются конфликтные интересы потребителей и производителей.