Уровни абстрактного описания систем

Наиболее применимыми в практике системного анализа являютсяследующие уровни абстрактного описания систем:

• символический, или лингвистический;

• теоретико-множественный;

• абстрактно-алгебраический;

• топологический;

• логико-математический;

• теоретико-информационный;

• динамический;

• эвристический.

Лингвистический уровень описания системы — наиболее общий уро­вень абстрагирования. На лингвистическом уровне описания, по М. Месаровичу, системой называется множество правильных высказыва­ний в некотором абстрактном языке, для которого определены граммати­ческие правила построения высказываний. Все высказывания делятся на два класса: термы (объекты исследования) и функторы (отношения между термами). Для определения абстрактного языка вводится совокупность не­которых символов, и задаются правила оперирования ими.

Теоретико-множественное определение системы: система есть соб­ственное подмножество X_S X, гдеX— прямое (декартово) произведение множеств X_i, i = :

X = X₁ X₂ X₃ … X_n (1.1)

Декартовым произведением множеств называется множество конечных наборов элементов (x₁, x₂, x₃,…,x_n), таких, что

x₁ X₁, x₂ X₂, … , x_n Xn.

Каждый элемент x_i Х_i, в свою очередь, может быть множеством, которое позволяет описывать иерархию достаточно сложных систем.

Примером реальной системы, исследованной на уровне теоретико-множественнного подхода, является кибернетическая система управления предприятием, описанная Ст. Биром.

Абстрактно-алгебраическое определение понятия системы: системой S называется некоторое множество элементов {S_i} S, i= , на ко­тором задано отношение R с фиксированными свойствами Р. Следователь­но, система определяется заданием S=S_]xS₂x...xS_n и семейством отноше­ний R = {R_], R₂,...R_m }, например, бинарных, тернарных и т. д.

Важное значение в исследовании реальных систем имеет динамиче­ское определение сложной системы. С позиций динамического подхода определение системысводится к заданию восьмерки величин:

S = {T,X, U, Ω, Y, Г, η, φ}, (1.2)

где Т— множество моментов времени;

X— множество допустимых входных воздействий, X = {х: Т → Q};

Ω - множество мгновенных значений входных воздействий;

U— множество состояний или внутренних характеристик системы;

Y— множество мгновенных значений выходных сигналов;

Г- множество выходных величин, Г= {γ: Т → Y);

η - выходное отображение, η: T*U →Y ;

φ - переходная функция состояния, φ: T*T*U*X →U.

Приведенное определение динамической системы является чрезвы­чайно общим. Такое определение имеет концептуальное значение, позво­ляет выработать общую терминологию, но не обеспечивает получения со­держательных практических выводов, и поэтому требует дальнейшей кон­кретизации и введения дополнительных структур, что будет осуществлено ниже. Задачи, рассматриваемые в теории систем на основе приведенного определения, традиционны: это задачи устойчивости, управления, иденти­фикации, оптимизации, эквивалентности, структуры, декомпозиции, син­теза и ряд других.

Для целей экономической кибернетики понятие динамической сис­темы представляется особенно важным, поскольку экономические объекты относятся к классу динамических.

До сих пор предпосылкой описания сложной системы являлось представление о том, что взаимодействие системы с внешней средой осу­ществляется с помощью входов и выходов. Системы такого рода являются относительно обособленными. В реальной действительности абсолютно обособленных (замкнутых) систем не существует, хотя подобная абстрак­ция иногда используется в целях исследования.

Системный подход

Локальным решениям, полученным на основе охвата небольшого числа существенных факторов, кибернетика противопоставляет систем­ный подход. Этот подход отличается от традиционного, предусматриваю­щего расчленение изучаемого объекта на составные элементы и определе­ние поведения сложного объекта как результата объединения свойств вхо­дящих в него систем.

Системный подход основывается на принципе целостности объекта исследования, т. е. исследование его свойств как единого целого, единой системы. Этот принцип исходит из того, что целое обладает такими качествами, которыми не обладает ни одна из его частей. Такое свойство целостной системы называют эмерджентностью (от англ. emergent — неожиданно возникающий). Выражением эмерджентных свойств является всякий эффект взаимодействия, не аддитивный по отношению к локальным эффектам.

Системный подход для максимального использования качества цело­стности требует непрерывной интеграции представлений о системе с раз­личных точек зрения, на каждом этапе ее исследования, а также — подчинения частных целей общей цели, стоящей перед всей системой.

Системный подход опирается на диалектический закон взаимосвязи и взаимообусловленности явлений в мире и обществе и требует рассмот­рения изучаемого явления или процесса не только как самостоятельной системы, но и как подсистемы некоторой суперсистемы более высокого уровня. Системный подход требует прослеживания как можно большего числа связей, не только внутренних, но и внешних — с тем, чтобы не упус­тить действительно существенные связи и факторы и оценить их эффекты. Практически системный подход — это системный охват, системные пред­ставления, системная организация исследования.

Любой объект исследования, таким образом, может быть представ­лен как подсистема некоторой системы более высокого ранга, - и это при­водит к проблеме выделения системы, установления ее границ, - и как система по отношению к некоторой совокупности подсистем более низко­го ранга, которые, в свою очередь, образованы некоторыми элементами, дальнейшее дробление которых нецелесообразно с точки зрения конкрет­ного исследования, - и это определяет необходимость постановки задачи выбора такого первичного элемента.

Выделение системы предполагает наличие ряда системообразующих признаков, которые определяются целями исследования и волей исследо­вателя и в силу этого являются субъективными:

• объекта исследования;

• субъекта исследования;

• цели исследования.

Не существует однозначного подхода к определению первичного элемента, выбор которого осуществляется субъективно, в соответствии с целями исследования.

Первичным элементом системы является элементарный объект, неделимый далее средствами данного метода декомпозиции в границах данного исследования, устойчивость которого выше, чем устойчивость системы в целом.

Концепция первичного элемента системы позволяет производить структурный анализ системы, причем элементы выступают модулями структуры, «черными ящиками», внутренняя структура которых не являет­ся предметом исследования. Взаимодействия элементов системы между собой и с внешней средой обеспечивается посредством системы связей, разнообразие которых так же велико, как и разнообразие свойств системы и среды. При этом в процессе анализа и синтеза систем исследуются лишь существенные связи, а прочими пренебрегают, либо интерпретируют их как возмущения или «шум».

Сложная система

При выделении системы, как правило, задается не одно, а множество отношений, или связей между элементами. Такая система характеризуется

неоднородностью элементов и связей, структурным разнообразием, что свидетельствует о сложности системы.

Понятие сложной системы неоднозначно. Это собирательное назва­ние систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных элементов. Часто сложными называют системы, которые не поддаются корректному математическому описанию либо ввиду высокого уровня разнообразия, либо из-за непознанности природы явлений, протекающих в системе.

Английский кибернетик Ст. Бир подразделяет все кибернетические системы на три группы — простые, сложные и очень сложные. Примеры систем, относящиеся к этим трем группам, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 - Классификация систем по Ст. Биру

Характеристики «сложности» систем многообразны и сопровож­даются одновременно многими специфическими чертами, такими, как:

• многокомпонентность системы (большое число элементов, связей, большие объемы циркулирующей информации, др.);

• многообразие возможных форм связей элементов (разнородность структур — древовидных, иерархических, др.);

• многокритериальность, т. е. наличие ряда противоречивых критериев;

• многообразие природы элементов, составляющих систему;

• высокий динамизм поведения системы и структурных характеристик и др.

Весьма характерным для сложных систем является то обстоятельст­во, что, независимо от природы исследуемой системы, при решении задач управления используются одни и те же абстрактные модели, составляю­щие сущность системного подхода, позволяющие определить пути про­дуктивного исследования сложных систем любой природы и любого на­значения.

Первой и основной чертой сложных систем традиционно считается целостность, или единство системы, холизм, проявляющийся в наличии у всей системы общей цели, назначения. Еще до возникновения системотех­ники выдающиеся отечественные физиологи И. М. Сеченов и И. П. Павлов обогатили мировую науку идеями саморегуляции функций целостности живого организма. Полное значение и формулировка принципа органиче­ской целостности были осознаны лишь с появлением концепций общей теории систем и формированием методологии кибернетики. Поэтому сис­темы, в отдельных частях которых не наблюдается взаимодействия со всей системой в плане подчинения единой цели, не относятся к классу сложных систем, исследуемых в кибернетике.

Целостность характеризуется рядом свойств и особенностей, ее мно­гогранность выражается понятиями: дифференциация, интеграция, сим­метрия, полярность и др. Дифференциация отражает свойство расчленен­ности целого, проявление разнокачественности ее частей. Противополож­ное понятие — интеграция связано с объединением совокупности сопод­чиненных элементов в единое образование. Симметрия и асимметрия выражают степень соразмерности в пространственных и временных связях системы.

Любая кибернетическая система обладает всеми характерными при­знаками целостности. Универсальность симметрии, широко распростра­ненной в природе и представляющей собой всеобщий закон природы, была выражена в принципе симметрии Пьером Кюри. Из принципа симметрии и полярности следуют важные заключения о свойствах структуры и процес­сов исследуемых кибернетикой систем и моделей.

Системный подход, основанный на принципе целостности, в иссле­довании свойств объекта как единого целого, требует непрерывной инте­грации представлений о системе на каждом этапе исследования — систем­ного анализа, системного проектирования, системной оптимизации. Рас­сматриваемый подход проявляется в действии ряда общих принципов ис­следования:

· принцип максимума эффективности проектируемой и функционирующей системы;

· принцип субоптимизации — согласования локальных критериев между собой и с общим глобальным критерием функционирования системы;

· принцип декомпозиции, осуществляемый с учетом требования максимума эффективности. В результате декомпозиции может быть получена некоторая многоуровневая структура системы или процесса ее исследования.

Системный подход к исследованию объекта на определенном уровне абстракции позволяет решать вполне определенный, ограниченный круг задач, а для расширения (сужения) класса решаемых задач необходимо проводить исследование уже на другом уровне абстракции. Каждый из уровней представления системы располагает определенными возможно­стями и имеет свои ограничения. Системный подход сам системен. Для достижения максимальной полноты и глубины исследования необходимо исследовать систему на всех целесообразных для конкретного случая уровнях абстракции.

Использование системного подхода для целей исследования объекта носит дедуктивный характер. Выберем в качестве объекта исследования функциональную систему S.

Определение 1.1: если S является функцией:

S : X→Y, (1.3)

где Х—входной,

Y— выходной объект,

то соответствующая система называется функциональной.

Такая система иначе называется системой «вход-выход».

В кибернетической литературе ее называют «черным ящиком». Этот термин предложил английский ученый-кибернетик У. Р. Эшби. В ка­честве «черного ящика» принимаются объекты исследования кибернетики, внутренняя структура (устройство) которых неизвестно или оно не являет­ся предметом изучения. Внешнему наблюдателю таких объектов доступны только воздействия на их входы и реакция на воздействия, проявляющаяся в изменении поведения объектов на выходе. Концепция «черного ящика» дает определенные возможности для объективного изучения систем, уст­ройство которых либо недоступно исследователю, либо их поведение не зависит от структурных характеристик.

Наблюдая достаточно долго за поведением такой системы, можно достичь такого уровня знаний свойств системы, чтобы научиться предска­зывать движение ее выходных координат при любом заданном изменении на входе. Очевидно, однако, что возможности исследования «черного ящи­ка» достаточно ограничены. Заметим попутно, что в рамках данного под­хода системы, характеризующиеся одинаковыми наборами входных и вы­ходных величин и одинаково реагирующие на внешние возмущения, яв­ляются по определению изоморфными. Концепция «черного ящика» пло­дотворна на стадии исследования эмерджентных свойств, поскольку имен­но «черный ящик» олицетворяет систему как нечто целое, чье поведение необъяснимо со структурных позиций. Предсказание поведения целого, основанное на иной платформе (так называемый «белый ящик», «серый ящик»), часто не бывает исчерпывающим, так как сверх предсказанных свойств могут эмерджировать или внезапно проявляться новые свойства. Порождаемые свойства в полной мере присущи экономическим системам, что прибавляет трудности их исследователям.

Аксиома 1.1: любую систему преобразования входов в выходы мож­но представить как функциональную, и наоборот, просто опираясь на предположение о целесообразности ее функционирования.

Аксиома 1.2: целесообразность существования функциональной сис­темы S с точки зрения требований, предъявляемых к ней внешней средой или суперсистемой более высокого уровня, связана с выходными величи­нами Y, отражающими результаты функционирования системы S, или функциональное назначение системы.

Назовем представленный уровень исследования системно-ориентированным. В рамках данного подхода рассмотрим еще некоторые определения концептуального характера.

Определение 1.2: функциональная система S X Y называется управляемой тогда и только тогда, когда:

( y Y) ( х X) ((x,y) S) (1.4)

Определение 1.2 означает, что надлежащим выбором входного воз­действия х можно добиться получения любого выходного сигнала у Y.

Определение 1.3: функциональная система S X Y называется сис­темой принятия решений, если имеется такое семейство задач D(x); х X, решением которых является элемент множества Z, и такое ото­бражение R: Z→Y, что

( x X) ( y Y) (z Z) (D(x) = z) (R(z) = y) ((x,y) S). (1.5)

В терминах системно-ориентированного подхода могут быть осуще­ствлены постановки задач управления, оптимизации, гомеостазиса и др.

Исчерпав возможности исследования функциональной системы S на данном уровне абстракции, переходят к рассмотрению системы с позиций структурно-функционального подхода, используя для этого следующее определение.

Определение 1.4: функциональная система S с позиций структурно-функционального подхода задается пятеркой символов:

S = {X, Y, Ф,G, R}. (1.6)

где Ф — макрофункция системы,

G — структура системы,

R — отношение эмерджентности,

X, Y— множества входных и выходных объектов соответственно.

Макрофункция системы Фявляется количественным выражением основной; цели и зависит от управляющего воздействия Х_S X . Выбор макрофункции Ф обеспечивает достижение требуемого значения Y. Ф, та­ким образом, связана с решением глобальной задачи, стоящей перед сис­темой.

Ф: X_S → Y₀, Х_S X, Y₀ Y(1.7)

Соотношение между глобальной целью функционирования системы 5 и ее макрофункцией неоднозначен, обоснование выбора определенного вида макрофункции производится экспериментатором в соответствии с не­которым эвристическим критерием Ψ.

Пусть {Ф₁, Ф₂,...,Ф_K,} - некоторый конечный набор функций, связан­ных с целью системы S.

Ф= {Фi}, i= . (1.8)

Множество входных воздействий X разбивается на два подмножест­ва — управляющих сигналов X_s и возмущающих – (Х - X_s) =Ω.

Тогда определение 1.4 можно пояснить следующим образом:

S = {X, Y, Ф,G, R}, (1.9)

где X = X_S Ω

Ф : X_S → Y,

G = , i,j= ; (1.10)

где

{S_i} — множество элементов системы,

(Si, Sj) i ≠ j— множество связей между ними.

Если заданы их количественные характеристики:

р_i – количественные характеристики элементов, например: интен­сивность, мощность, запас и др.;

р_(i,j) – количественные характеристики связей, например: пропускная способность, ранг и др., то

G = (1.10)

Отношение эмерджентности R задает соответствие между макро­функцией системы и реализующей ее структурой и изменяется всякий раз, когда это соответствие нарушается:

R:Ф → G (1.11)

Структурно-функциональный подход выводит на новый, более глу­бокий уровень исследования. При этом решаются некоторые проблемы ме­тодологического характера:

• выбор Ф на основе качественного критерия Ψ

• формирование множества управлений X_s;

• выбор способа учета возмущающих воздействий Ω;

• выбор первичного элемента системы S_i S;

• составление перечня подсистем и элементов на основе определенного метода структурной декомпозиции;

• определение системы существенных связей системы {(Si, Sj)};

• определение механизма реализации производственных целей: Ф X G →Y;

• определение механизма управления X_s → Y.

Рассмотренное понятие является полезным при проведении анализа, синтеза или другого исследования.

Необходимость учета фактора времени при описании сложной сис­темы, а также рассмотрения поведенческих аспектов в движении и разви­тии систем приводит к необходимости исследования динамической систе­мы.

Определение 1.5: динамической системой S называется сложное математическое понятие:

S = [T, Ф, X, Ω,U, Y, G, R] (1.12)

определяемое следующими положениями:

1. задано множество моментов времени Т, макрофункция системы Ф, множество входных воздействий X, множество возмущений Ω, множество состояний U, множество значений выходных величин У, структура системы G и отношение эмерджентности R;

2.множество Т есть некоторое упорядоченное подмножество множества вещественных чисел;

3.макрофункция системы определяется с помощью двух функций:

S: X→Y и V: X Y→C,

где S — функциональная модель объекта,

V— функция качества, или оценочная функция,

С — множество оценок.

Макрофункция системы определяется парой (S, V).

4. множество возмущений Ω или множество неопределенностей представляет собой множество всевозможных воздействий, которые сказываются на поведении системы. Если такое множество непусто (Ω≠0) функциональная модель объекта принимает вид S: X Ω→Y, a оценочная функция - V: X Ω Y→ С.

5. существует переходная функция состояния

φ: T T U X → U,

значениями которой служат состояния

u(t) = φ(t, τ , u, x ) U,

в которых оказывается система в момент времени t T, если в на­чальный момент τ<t она находилась в состоянии и (τ) U и в течение отрезка [r,t) на нее действовали входные воздействия х Х.

6. задано выходное отображение

η: T U →Y,

определяющее выходные величины y(t) = η(t,u(t)).

Пару (τ,u), где τ T,u U называют событием системы S, а множество T U - пространством состояний системы.

Конечный набор состояний системы, задаваемый переходной функцией φ и определенный на некотором временном отрезке [t₁,t₂], t₁,t₂ T, называется траекторией поведения системы на интервале [t₁,t₂].

Говоря о движении системы, мы будем иметь в виду траекторию поведения системы.

7. структура системы G определяется в терминах теории графов:

G = i, j = 1,n; i ≠ j, где Si, - вершины, (Si, Sj) – дуги графа;

8. задано отношение эмерджентности

R : Ф→G.

Данное понятие динамической системы позволяет выработать об­щую терминологию, уточнить концептуализацию и обеспечить единый подход в рассмотрении приложений, однако является недостаточно кон­кретным.

В рамках абстрактной теории систем последнее определение допол­няется необходимыми понятиями: конечномерности, линейности, стацио­нарности и др. Однако теоретическое изложение этих вопросов в рамках данного учебника не производится: впредь по мере необходимости мы ап­риорно будем задавать тип связей между исследуемыми величинами, или классами систем: линейная непрерывная система, конечный автомат и т. д. Задачи, рассматриваемые для динамической системы, традиционны: это вопросы устойчивости, идентификации, инвариантности, наблюдаемости, управляемости и оптимальности, реализуемости и др. Углубленное изуче­ние теории вопроса позволяет грамотно и корректно ставить и решать за­дачи, связанные с управлением экономическими системами.