Словесная запись алгоритмов

Самой распространенной формой представления алгоритмов, адресуемых человеку, является обычная словеснаязапись. В этой форме могут быть выражены любые алгоритмы. Но если такой алгоритм предназначен для его дальнейшей реализации на вычислительном устройстве, то принято придерживаться более формализованного способа построения фраз с тщательно отобранным набором слов. Кроме того, необходимо указывать начало и конец алгоритма, отмечать момент ввода в вычислительное устройство значений исходных данных и вывода/печати полученного результата. В вычислительных алгоритмах широко используется общепринятая математическая символика, язык формул. Вводится необходимая в вычислительной практике операция присваивания:

у := А

(читается: «у присвоить значение А»), где у – переменная; А – некоторое выражение/формула. Следует сначала выполнить все действия, предусмотренные формулой А, а затем полученный результат сохранить в качестве значения переменной у. Выражение А в частном случае может быть переменной или числом. Например,

x := sin a – присвоить переменной х значение синуса;

y := x – присвоить переменной у значение переменной x;

z := 5.7 – считать значением переменной z число 5,7;

k := k + 1 – значение переменной k увеличить на единицу.

Введенные соглашения позволяют представлять словесные алгоритмы в достаточно компактной и наглядной форме.

Пример 9.1. Составим алгоритм вычисления коэффициентов приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, корни которого x₁, x₂ известны. Коэффициенты такого уравнения определяются по формулам:

p = –(x₁+x₂),

q = x₁x₂.

Предположим, что правила выполнения арифметических операций сложения, вычитания и умножения известны исполнителю. Тогда искомым алгоритмом будет следующая система предписаний:

Начало.

1. Ввести x₁, x₂.

2. p = –(x₁+x₂).

3. q = x₁x₂.

4. Вывести p, q.

Конец. □

В приведенной записи алгоритма ни в одном из предписаний нет указания на то, к какому следующему предписанию надо перейти. Предполагается, что в случае отсутствия специальных указаний предписания алгоритма выполняются в порядке их следования. Такое выполнение предписаний в алгоритме называется естественным ходом выполнения алгоритма, а сам алгоритм называется линейным.

Пример 9.2. Составим алгоритм определения максимального числа из трех чисел: z = max (a, b, c).

Решение задачи на ЭВМ можно получить, действуя следующим образом. Сначала найдем наибольшее из двух чисел, например, сравнив между собой a и b. Предположим, что исполнитель может выполнить операцию сравнения «больше». Найденное наибольшее число "запомним" в качестве значения переменной z. Далее сравним значение переменной z с оставшимся числом c. Если с больше z, то присвоим z новое значение – значение с, в противном случае, значение z останется прежним. В результате переменная z будет равна наибольшему из a, b, c и будет являться искомым результатом.

Изложенные рассуждения можно представить в виде следующей словесной записи алгоритма:

Начало.

1. Ввести a, b, c.

2. Если a > b, то z := a,

иначе z := b.

3. Если c > z, то z := c.

4. Вывести z

Конец.

Ход выполнения алгоритма зависит от результатов проверки условий а > b и c > z. Если для введенных значений a, b действительно a > b, то выполняется операция z := a; если нет, то выполняется z := b. Таким образом, в зависимости от результата проверки условия a > b требуется выполнить различные действия. В алгоритме на этом шаге предусмотрены оба возможных направления дальнейших вычислений. При проверке условия c > z операция z := c может выполняться, если действительно c > z, или не выполняться, в противном случае. □

Вычислительный процесс, который в зависимости от выполнения некоторых условий реализуется по одному из нескольких возможных, заранее предусмотренных направлений, называется разветвляющимся. Каждое отдельное направление называется ветвью вычислений. Выбор той или иной ветви осуществляется при выполнении алгоритма в результате проверки этих условий и определяется свойствами исходных данных и промежуточных результатов. При разработке алгоритма должны быть учтены все возможные ветви вычислений.

Пример 9.3. Составим алгоритм определения остатка от деления двух целых неотрицательных чисел А и В, где В ¹ 0. Рассматривая деление как многократное вычитание делителя В из делимого А, получим алгоритм, состоящий из следующих шагов:

Начало.

1. Ввести A, B.

2. Если A < B, то перейти к шагу 5,

иначе перейти к шагу 3.

3. A := A – B.

4. Перейти к шагу 2.

5. ОСТ := A.

6. Вывести ОСТ.

Конец.

Шаги 2, 3, 4 записаны в алгоритме один раз, а могут выполняться многократно. Многократно повторяемые участки вычислений образуют так называемый цикл. Вычислительный процесс, содержащий многократные вычисления по одним и тем же математическим зависимостям, но для различных значений входящих в них переменных, называется циклическим. Переменные, изменяющиеся в цикле, называются переменными цикла, а действия, повторяемые в цикле, – телом цикла. Количество повторений цикла определяется значениями переменных, входящих в условие его окончания.

Чтобы лучше понять характер циклических процессов, рассмотрим подробнее структуру приведенного алгоритма. Первый шаг алгоритма представляет собой подготовку цикла: задание начальных значений переменным цикла перед первым его выполнением. Тело цикла – действия, многократно повторяемые в цикле (шаги 2, 3, 4). В каждом конкретном случае число повторений этих действий будет различным. Шаг 3 обеспечивает модификацию (изменение) значений переменной цикла А, входящей в условие его окончания. Управление циклом осуществляется на шаге 2. Проверяется условие окончание цикла (А < В), и осуществляется, либо выход из цикла, либо возврат на его повторение. Очень важно правильно сформулировать условие окончания цикла.

Поняв сущность и структуру циклических алгоритмов, можно записать алгоритм более компактно:

Начало.

1. Ввести A, B.

2. Пока A ³ B, выполнять A := A – B.

3. ОСТ := A.

4. Вывести ОСТ.

Конец.

Предписание «Пока А ³ В выполнять А := А - В» надо понимать следующим образом: если А больше или равно В, то выполнить операцию А := A - В и перейти опять на проверку условия А ³ В; если А меньше В, то перейти к выполнению следующего предписания (шаг 3), не выполняя операцию А := A - В. □

Схемы алгоритмов

Схема алгоритма – это графический способ его представления с элементами словесной записи. Каждое предписание алгоритма изображается с помощью плоской геометрической фигуры – блока. Отсюда название: блок-схема. Переходы от предписания к предписанию изображаются линиями связи – линиями потоков информации, а направление переходов – стрелками. Различным по типу выполняемых действий блокам соответствуют различные геометрические фигуры. Приняты определенные стандарты графических изображений блоков (табл. 9.2).

Таблица 9.2. Изображение блоков в схемах алгоритмов

Наименование символа	Обозначение и размеры	Функция
Процесс (вычислительный блок)		Выполнение операции или группы операций, в результате которых изменяются значение, форма представления или расположение данных
Решение (логический блок)		Выбор направления выполнения алгоритма в зависимости от некоторых условий
Модификация (заголовок цикла)		Выполнение операций по управлению циклом – повторением команды или группы команд алгоритма
Пуск-останов (начало-конец)		Начало или конец выполнения программы или подпрограммы
Предопределенный процесс (вызов подпрограммы)		Вызов и использование ранее созданных и отдельно описанных алгоритмов (подпрограмм)
Ввод-вывод		Общее обозначение ввода или вывода данных в алгоритме безотносительно к внешнему устройству
Соединитель		Указание прерванной связи между блокам в пределах одной страницы
Межстраничный соединитель		Указание прерванной связи между блоками, расположенными на разных листах

Рассмотрим общие правила построения схем алгоритмов.

1. Для конкретизации содержания блока и уточнения выполняемого действия внутри блока помещаются краткие пояснения – словесные записи с элементами общепринятой математической символики (рис. 9.1, а).

2. Основное направление потока информации в схемах может не отмечаться стрелками. Основное направление – сверху вниз и слева направо. Если очередность выполнения блоков не соответствует этому направлению, то возможно применение стрелок (рис. 9.1, б).

Рис. 9.1. Примеры изображения элементов схем алгоритмов

3. По отношению к блоку линии могут быть входящими и выходящими. Количество входящих линий принципиально не ограничено. Количество выходящих линий регламентировано и зависит от типа блока. Например, логический блок должен иметь не менее двух выходящих линий, каждая из которых соответствует одному из возможных направлений вычислений. Блок модификации должен иметь две выходящие линии, одна соответствует повторению цикла, вторая – его окончанию.

4. Допускается разрывать линии потока информации, размещая на обоих концах разрыва специальный символ «соединитель» (рис. 9.1, в, г). В пределах одной страницы используется символ обычного соединителя, во внутреннем поле которого помещается маркировка разрыва либо отдельной буквой, либо буквенно-цифровой координатой блока, к которому подходит линия потока. Если схема располагается на нескольких листах, переход линий потока с одного листа на другой обозначается с помощью символа «межстраничный соединитель». При этом на листе с блоком-источником соединитель содержит номер листа и координаты блока-приемника, а на листе с блоком-приемником – номер листа и координаты блока-источника.

5. Нумерация блоков осуществляется либо в левом верхнем углу блока в разрыве его контура, либо рядом слева от блока (рис. 9.1, а). Принцип нумерации может быть различным, наиболее простой – сквозная нумерация. Блоки начала и конца не нумеруются.

6. Для блоков приняты следующие размеры: а = 10, 15, 20 мм; b = 1,5а. Если необходимо увеличить размер блока, то допускается увеличение на число, кратное пяти. Необходимо выдерживать минимальное расстояние 3 мм между параллельными линиями потоков и 5 мм между остальными символами.

С помощью блок-схем можно изображать самые различные алгоритмы, например, линейной (рис. 9.2), разветвляющейся (рис. 9.3) и циклической структур (рис. 9.4).

Рис. 9.2. Алгоритм вычисления коэффициентов
приведенного квадратного уравнения

Пример 9.4. Рассмотрим задачу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых положительных чисел M, N.

В математике известен алгоритм решения этой задачи – алгоритм Евклида, который заключается в последовательном делении вначале большего числа на меньшее, затем меньшего на полученный остаток, первого остатка на второй остаток и т.д. до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний по счету делитель и будет искомым результатом.

Рис. 9.3. Алгоритм выбора максимального числа из трех заданных чисел	Рис. 9.4. Алгоритм определения остатка от деления двух целых неотрицательных чисел

Сформулируем алгоритм Евклида несколько иначе, рассматривая деление как многократное вычитание:

1. Если числа равны между собой, то взять в качествеНОД любое из них.

2. Если числа не равны между собой, то большее из чисел заменить их разностью и вернуться к шагу 1.

Алгоритм Евклида может быть представлен следующей словесной записью:

Начало.

1. Ввести М, N.

2. Пока М¹N выполнять:

Если M > N, то M := M-N;

иначе N := N-M.

3. НОД := М.

4. Вывести НОД.

Конец.

Блок-схема алгоритма Евклида представлена на рис. 9.5, где блок 1 есть подготовка цикла, блок 2 – управление циклом, блоки 3, 4, 5 – тело цикла (разветвляющаяся структура), из них блоки 4, 5 являются блоками модификации значений переменных цикла M и N. □

Рис. 9.5. Алгоритм Евклида

Блок-схемы являются исключительно простым и наглядным способом представления алгоритмов. Их очень полезно использовать при разработке общей структуры алгоритма, чтобы отчетливо представить себе алгоритм в целом и проследить все логические связи между его отдельными частями, проверить все ли возможные варианты решения поставленной задачи нашли в нем отражение.

Блок-схемы не накладывают никаких ограничений на степень детализации в изображении алгоритма. Это определяется программистом. Однако следует помнить, что схемы общего характера малоинформативны, а излишне подробные схемы проигрывают в наглядности. При разработке сложных алгоритмов, чтобы уяснить сущность выполняемых действий и выявить основные связи, сначала пытаются представить его общей схемой в виде достаточно крупных блоков. Затем эти крупные блоки разбивают на более мелкие, составляя более детальные схемы и проверяя их логическую правильность. Именно так мы поступили при разработке алгоритма Евклида, при этом использовали и словесную форму записи, и блок-схему.

Замечание. Стандарты предусматривают использование циклической структуры общего вида (безотносительно к типу цикла), представленной справа. Условие продолжения или окончания цикла может быть указано как в верхнем, так и в нижнем блоке. Её применение целесообразно только в простых алгоритмах, в более сложных, она теряется в общей структуре алгоритма ввиду отсутствия явной передачи управления.

Структурограммы

В практике структурного программирования для представления алгоритмов используются также структурограммы (схемы Насси-Шнейдермана). Этот способ позволяет изображать схему передач управления в алгоритме не с помощью явного указания линий потоков информации, а с помощью представления вложенности структур – функциональных блоков, которые используются для описания выполняемых действий. Некоторые из используемых в этом способе блоков соответствуют их изображению в схемах алгоритмов. Для изображения алгоритмов в структурограммах используются следующие блоки.

1. Блок обработки (вычислений). Каждый блок является блоком обработки. Каждый прямоугольник внутри любого блока представляет собой также блок обработки.
2. Блок следования. Этот блок объединяет ряд следующих друг за другом процессов обработки.
3. Блок решения. Этот блок применяется для обозначения структуры ветвления. Условие располагается в верхнем треугольнике, варианты решения – по сторонам треугольника, процессы обработки – в нижних прямоугольниках. Если блок решения является сокращенным (отсутствует одна из ветвей), то структурограмма видоизменяется соответствующим образом.
4. Блок варианта реализует структуру многоальтернативного выбора. Варианты, которые можно сформулировать точно, размещаются слева, остальные объединяются в один, называемый выходом по несоблюдению условий, располагаемый справа. Правую часть можно оставить незаполненной или опустить.
5. Блок цикла с предусловием реализует циклическую структуру с проверкой условия в начале цикла. Условие продолжения цикла размещается в верхней полосе, сливающейся с левой, указывающей границу цикла. Данный блок может быть использован и для обозначения цикла с параметром, тогда вверху указывают закон изменения параметра цикла.
6. Блок цикла с постусловие аналогичен блоку цикла с предусловием, но условие окончания цикла располагают внизу. Каждый блок имеет форму прямоугольника и может быть вписан в любой внутренний прямоугольник любого другого блока. Блоки дополняются элементами словесной записи с использованием математической символики. На рис. 9.6 приведен пример структурограммы алгоритма Евклида.
	Рис. 9.6. Структурограмма алгоритма Евклида