Система обслуживания G/M/1.

Рассматриваемая система имеет один обслуживающий прибор при дисциплине обслуживания FIFO. Согласно описанной выше классификации систем массового обслуживания здесь предполагается, что промежутки времени между поступлениями распределены независимо с некоторой плотностью и средним значением . Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону при средней интенсивности обслуживания m. Будем рассматривать только установившийся режим.

Ключевым понятием при описании системы, как и раньше, является состояние системы, где под состоянием понимается число клиентов в системе в некоторый фиксированный момент времени. Диаграмма состояний системы представлена на рис.2.17.

Рис.2.17. К определению состояния системы G/M/1

На рис.2.17 показана последовательность моментов поступления требований, отождествляемая с последовательностью точек временной оси, порождающей марковскую цепь с дискретными состояниями. Здесь введены следующие обозначения:

- число клиентов в системе в момент поступления j-го требования на обслуживание,

- число клиентов, обслуженных между поступлением j-1 и j-го требования.

Согласно рисунку можно записать

. (2.74)

Предполагая, что установившийся режим работы системы существует (в работе [4] показано, что для этого необходимо выполнение условия , где, как обычно, ), вероятность k-го состояния системы определим как

. (2.75)

Определим теперь для рассматриваемой цепи вероятности перехода из одного состояния в другое в виде

. (2.76)

По сути дела, вероятность перехода вида (2.76) есть вероятность того, что за промежуток времени между поступлениями будет обслужено требование. Из рис. 2.17 и определения (2.76) следует, что число находящихся в системе требований в промежутке времени между поступлениями требований j-1 и j не может быть больше, чем . Поэтому при , т.е. переход из состояния l в состояние k невозможен. На рис.2.18 представлена диаграмма вероятностей переходов марковской цепи, где указаны только переходы из состояния l.

Рис.2.18. Диаграмма вероятностей переходов марковской цепи для системы G/M/1

Если бы вероятности возможных переходов из одного состояния в другое были найдены, то, как показано в [4], для случая установившегося режима работы системы собственно вероятности состояний, введенные формулой (2.75), могли бы быть найдены из решения системы линейных алгебраических уравнений, матричная форма записи которых имеет вид

, (2.77)

где: - матрица-строка вероятностей состояний, размерность которой определяется интересующим нас набором состояний,

P –матрица, элементы которой совпадают с вероятностями перехода за один шаг.

Задача состоит в том, чтобы найти эти вероятности перехода. Для этого рассмотрим четыре области на плоскости (l, k), изображенные на рис.2.19.

Для области , где для индексов l и k справедливо соотношение , выше было выяснено, что здесь .

В области для индексов l и k соотношение определяется неравенствами , что соответствует тому случаю, когда требование

Рис.2.19. Границы изменения индексов l и k при выводе формул для .

не ждет, а сразу поступает на обслуживание. (Последняя единица в системе неравенств характеризует то, что мы рассматриваем однолинейную систему). За время между поступлениями требований закончится обслуживание требований. Но в области l=0 и , поэтому ни одно требование не покинет систему. Т.к. время обслуживания распределено экспоненциально, вероятность этого события равна . Поэтому для единственной в этой области вероятности можно записать

, (2.78)

где - плотность вероятности интервалов между приходом требований.

Теперь рассмотрим область , которая характеризуется неравенствами . В этой области сосредоточены вероятности , , , , и т.д. Это – случай, когда обслуживающая линия занята на протяжении всего промежутка времени между поступающими требованиями, и они попадают в накопитель для ожидания. Т.к. время обслуживания в данной системе распределено экспоненциально, то число обслуживаний за время промежутка между поступающими требованиями распределено по закону Пуассона с параметром m (это будет, естественно, условная вероятность). Если ввести обозначение, что А – событие, состоящее в том, что на протяжении интервала времени t линия занята, то можно записать

. (2.79)

Как указывалось выше, чтобы перейти из состояния l в состояние k, необходимо, чтобы за время t было обслужено ровно требований. Имея это в виду, для запишем .

(2.80)

Итак, в области - это вероятность обслуживания требований за промежуток времени, равный промежутку, когда обслуживающая линия остается занятой.

Для области соотношение между индексами l и k имеет вид: . Здесь ситуация такова, что поступающее требование застает требование на обслуживании и l -1 требований в очереди. Поступившее требование встает в очередь на обслуживание. Итак, в системе становится l требований, и предположим, что все их надо обслужить за время , где - время между поступающими требованиями. Если положить , то с учетом того, что процесс обслуживания пуассоновский , и тогда согласно вышеизложенному

. (2.81)

Таким образом, выражения (2.77), (2.78), (2.80) и (2.81) дают описание вероятностей перехода и вероятностей состояний для системы G/M/1.

В фундаментальной работе [4] по теории массового обслуживания, показано, что для вероятностей состояния системы справедлив следующий результат

(2.82)

где s - единственное решение уравнения в области .

Там же показано, что система G/M/1 приводит к геометрическому распределению числа требований (клиентов) в моменты поступления нового требования и распределение времени ожидания имеет такую же форму как распределение времени ожидания в системе М/М/1 при выполнении условия .