Вероятность блокировки.

Пусть есть произвольная система обслуживания (не обязательно M/M/1), изображенная на рис.2.5.

Рис.2.5. К понятию вероятности блокировки.

При наличии блокировки с вероятностью P_B чистая интенсивность поступлений может быть интерпретирована как . Но это должно быть не чем иным, как пропускной способностью (производительностью) или числом клиентов, обслуживаемых в секунду в консервативной системе. Таким образом . Пропускную способность можно определить и другим способом.

Пусть - средняя скорость обслуживания, когда система не пуста. Система пуста с вероятность P₀. Поэтому фактическая скорость обслуживания . Итак, в системе с конечной очередью:

. (2.12)

Подставим сюда из (2.10)

, где .

Преобразуя, получим: , что совпадает с для системы M/M/1 с конечной очередью.

Если и , то, и , что совпадает с выражением (2.9) для системы M/M/1 с бесконечной очередью, то есть это есть вероятность того, что система находится в состоянии n=N. Таким образом, при усечение бесконечной очереди в точке n=N не повлияет на статистику очереди.

Пример: . В системе M/M/1 требуется реализовать . Из выражения находим N=9. Если , то N=19.

Исследуем выражение (2.11). Для существования стационарных вероятностей здесь не требуется . Эти вероятности существуют из-за конечности очереди для любого . При увеличении , из-за увеличения очередь переполняется всё более часто и при очередь находится в состоянии n=N с вероятностью 1. Характер зависимости представлен на рис.2.6.

При для всех , а , т. е. . Область называется областью скученности, здесь наиболее вероятны состояния очереди с наивысшими номерами. При (с использованием правила Лопиталя) можно получить .

Рис.2.6. Характеристики системы M/M/1 при конечной очереди.

Из (2.12) можно получить . Данное выражение представляет собой нормированную производительность системы M/M/1 с конечной очередью. Зависимость от r также представлена на рис.2.6. При получаем , и при .

Сравнение поведения системы M/M/1 при конечной и бесконечной очереди позволяет сделать вывод, что в области целесообразно исследовать только бесконечный накопитель. Как было указано выше, на основе известного распределения вероятностей состояний можно рассчитывать различные характеристики системы.

Найдем среднее число клиентов в системе E(n).

С учетом , получаем

. (2.13)

Результат (2.13) можно получить непосредственно, используя формулу [ 8 ]

, где для нашего случая a=0 и r=1.

График зависимости среднего числа клиентов от r приведен на рис.2.7.

Из (2.13) следует, что при малой нагрузке число клиентов в очереди мало, с увеличением нагрузки ( ) число клиентов в очереди тоже увеличивается (за счёт в знаменателе). Сравнивая два последних рисунка можно сказать, что при росте нагрузки системы растёт и её производительность, однако, всё большее количество клиентов блокируется и растёт среднее число клиентов в очереди.

Рис.2.7. Зависимость E(n) от r для системы M/M/1.

2.3. Формула Литтла.

В предыдущем параграфе было рассчитано среднее число клиентов в системе М/М/1. С величиной Е(n) тесно связана временная характеристика системы, которая называется время задержки Т, и которая включает в себя время ожидания в очереди W и время обслуживания (см.рис.2.8). В силу того, что m в однолинейной системе представляет собой среднюю интенсивность обслуживания можно не вводить специального обозначения для среднего времени обслуживания, а просто писать .

Рис. 2.8. Время задержки в однолинейной системе.

Поэтому . (2.14)

Очевидно, должна существовать связь среднего времени задержки клиента в системе Е(Т) со средним числом клиентов E(n) в установившемся режиме. Установим эту связь.

Обозначим через m(t) число поступлений в систему к мо-менту времени t на интервале (0, t). Число уходов из накопителя на обслуживание на этом же интервале – l(t). Никаких предположений относительно процессов поступлений и уходов не делается, т.е. полученный результат будет справедлив для любых типов однолинейных систем. В соответствие с введенными обозначениями для числа s(t) ожидающих клиентов в системе к моменту времени t можно записать

.

На рис.2.9 m(t) изображена сплошной линией, а l(t) – пунктиром. Там же отмечены моменты поступления клиентов в систему и моменты ухода на обслуживание , . Пусть дисциплина обслуживания – в порядке поступления, тогда Соответственно - время ожидания j-го клиента.

Рис.2.9. К выводу формулы Литтла.

Рассмотрим интервал . Число поступлений на этом интервале , а средняя интенсивность поступлений

. (2.15)

Найдем . Этот интеграл определяется как площадь под разностью . Из рисунка следует, что эта площадь состоит из прямоугольников единичной высоты и длины .

. (2.16)

Пусть - среднее время ожидания в промежутке . Тогда

. (2.17)

Среднее число клиентов в системе

. (2.18)

Из (2.16), (2.17) и (2.18) имеем

или .

Это и есть формула Литтла. При , , и для установившегося режима можно записать окончательно

. (2.19)

Формула Литтла справедлива при любой дисциплине обслуживания. Это можно показать из соотношения

,

которое следует интерпретировать так, что сумма слева зависит только от суммы времен ухода, а не от разности .

Вернемся к системе M/M/1.