Вероятность обнаружения геометрических тел.

Обычно геологи пытаются открыть рудные залежи, занимающие всегда некоторое пространство в земной коре. Очень часто находки таких залежей, особенно если они большие по размерам и залегают близко к земной поверхности, делаются случайно и даже не редко специалистами других профессий, однако такие открытия становятся все реже и реже и геологи применяют систематические процедуры поисковых работ.

Рудные залежи, которые являются источником сильных геофизических полей, например гравитационных, магнитных, электрических, или которые являются источником для геохимических аномалий – ищут вдоль равномерно расположенных профилей, если поиски ведутся на земле, если в воздухе, то вдоль трасс полета и если в космосе, то по параллельным орбитам.

Вероятность обнаружения месторождения при измерениях вдоль множества параллельных линий может быть определена из геометрических соображений. Обычно вероятность открытия связана с размером месторождения и размерами пространственной схемы, вдоль которой проводятся измерения. Если предположить, что месторождение имеет эллиптическую форму, а поиски ведутся по параллельным профилям, то можно вычислить вероятность того, что один из профилей пересечет залежь заданного размера. Предположим, что рудную залежь, которую нужно найти имеет эллиптическую форму и полуоси эллипса равны A и B, если рудная залежь по форме является кругом, то в этом случае A = B = R (R – радиус круга). Схема поисков состоит в некоторых измерениях, сделанных через равное расстояние, вдоль параллельных профилей, расположенных друг от друга на расстоянии D. Вероятность того, что рудная залежь, размеры которой меньше, чем расстояние между профилями, будет пересечена некоторым профилем, равна

P = p/πD,

где p – периметр эллиптической залежи.

Периметр эллипса вычисляется по формуле

p = 2π (A²+B²)/2

где А и В – полуоси эллипса. Подставляя значения - p- в формулу получим

P = (2π/ πD)* (A²+B²)/2 = 2/D* (A²+B²)/2

Введем величину Q – диаметр.

Диаметр для эллипса равен

Q = 2* (A²+B²)/2

а для круга

Q = 2R.

Тогда вероятность того, что эллиптическая залежь будет пересечена одним из параллельных профилей, рассчитывается как

P = Q/D

В частном случае для круга

P = 2R/D.

В другом случае одна из осей может быть очень короткой, и рудная залежь становится похожей на случайно ориентированную линию. Рассчитать вероятность в этом случае можно, используя формулу

P = 2L/ πD,

где L – длина залежи.

Для решения этой задачи используется подход, примененный для решения задачи Бюффона, которая состоит в вычислении вероятности того, что игла длиной L, брошенная на множество параллельных линий, расположенных на расстоянии D одна от другой, пересечет хотя бы одну из этих прямых. Аналогичная задача, известная как проблема Лапласа используется при систематических поисках. Задача состоит в нахождении вероятности того, что игла длиной L , брошенная на поле, покрытое сетью прямоугольников, попадает целиком в один из них. Один из вариантов этой задачи – вычисление вероятности того, что монета, брошенная на шахматную доску, попадет целиком в один из квадратов. При систематических поисках важно рассчитать вероятность того, что случайно для нас расположенная рудная залежь будет пересечена один раз или большее количество раз множеством профилей, представляющих собой прямоугольную сеть, вдоль которых производятся измерения.

Общее уравнение имеет вид

P = Q*(D1+D2-Q)/D1*D2

где D1 и D2 расстояние между параллельными линиями и их перпендикулярами.

В случае квадратной сети равенство упрощается

P = (Q/D)*(2-Q/D)

Известно, что приведенные здесь уравнения для расчета геометрической вероятности являются приближенными и если сравнить точные вероятности, вычисленные с помощью интегрирования и по этим формулам, то можно сделать вывод, что наиболее сильно результаты отличаются для очень удлиненных рудных залежей, размеры которых больше чем расстояние между профилями. Кроме этого приближенные уравнения завышают вероятность обнаружения геометрических тел.

В своем труде Дж. С. Дэвис приводит графики Мак-Кеммона, на которых очень удобно определять вероятность обнаружения залежей в зависимости от их размеров, формы и расстояниями между профилями. Один из них целесообразно привести в этих лекциях.

Рис. . Вероятность расположения объекта с помощью схемы поиска параллельными линиями. (Эллиптические объекты попадают в заштрихованную область).