Теорема полной вероятности.
Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.
Ниже приведены результаты опробования горизонтальной выработки (канавы), разделенной на три равных участка.
N пробы | Содержание (%) | N пробы | Содержание (%) | N пробы | Содержание (%) | ||
Участок 1 | Участок 2 | Участок 3 | |||||
Теперь мы можем переделать эту таблицу как частотную таблицу, в которой рассчитана частота появления пробы с определенным содержанием.
Участок канавы | Содержание металла (%) | Число проб | Частость |
Участок канавы N1 (К1) | 0.428 | ||
0.286 | |||
0.286 | |||
Сумма | |||
Участок канавы N2 (К2) | 0.285 | ||
0.285 | |||
0.430 | |||
Сумма | |||
Участок N3 (К3) | 0.428 | ||
0.572 | |||
Сумма |
На одном из участков берут пробу, причем участок и место, где берут пробу, выбирают случайно. Случайный отбор может происходить с использованием разных способов, один из них можно назвать способом урны. Сначала скатывают в трубочки листки бумаги с написанными на них номерами канав, кладут в урну, перемешивают и затем выбирают, далее тем же образом приготавливают 7 листков бумаги с предварительно написанными на них содержаниями металла и выбирают из урны один листок.
Вопрос. Какая вероятность появления пробы с содержанием 4%?
Появление события B (то есть появление пробы с содержанием 4%) может произойти только вместе с одним из событий К1, К2, К3 - то есть, появление события В может произойти только в одном из трех участков нашей канавы. События К1, К2, К3 образуют полную группу несовместных событий (событий, которые не могут появиться одновременно в данном опыте), но то что одно из этих событий произойдет в данном опыте равно 100% . Назовем эти события – гипотезами.
Вероятность события В определяется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе по следующей формуле
P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)
Это формула полной вероятности. Событие B может появиться только в комбинации с одной из гипотез К1, К2, К3, образующих полную группу несовместных событий. Комбинации К1В, К2В, К3В так же несовместны, так как несовместны гипотезы К1, К2, К3. Применяя к данным комбинациям (гипотезы-события) теорему сложения получим
P(B) = P(B/K1) + P(B/K2) + P(B/K3) = ∑P(B/Ki)
Далее применим теорему умножения и получим
P(Ki, B) = P(Ki)*P(B/Ki)
Поэтому
P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)
По условию задачи гипотезы К1, К2, К3 - равновозможные, следовательно
P(K1) = P(K2) = P(K3) = 0.33
Следовательно легко можно рассчитать, что вероятность появления события В ( то есть вероятность появления пробы с содержанием 4 %) равна
P(B) = P(4%) = 0.33*0.285 + 0.33*0.285 + 0.33*0.572 = 0.38
Таким образом, наугад взятая в канаве проба с вероятность 38% покажет содержание металла равное 4 % .
Такая же вероятность получится, если мы рассчитаем ее по простой формуле, однако, если гипотезы не равны друг другу, то есть например, длина участков будет разная, а количество проб то же, то по простой формуле вероятности мы уже не получим этот же результат.
Лекция 3
Дата добавления: 2019-04-03; просмотров: 378;