Теорема полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Ниже приведены результаты опробования горизонтальной выработки (канавы), разделенной на три равных участка.

 

N пробы Содержание (%)   N пробы Содержание (%)   N пробы Содержание (%)
Участок 1 Участок 2 Участок 3

 

Теперь мы можем переделать эту таблицу как частотную таблицу, в которой рассчитана частота появления пробы с определенным содержанием.

Участок канавы Содержание металла (%) Число проб Частость
Участок канавы N1 (К1) 0.428
0.286
0.286
Сумма
Участок канавы N2 (К2) 0.285
0.285
0.430
Сумма
Участок N3 (К3) 0.428
0.572
Сумма  

На одном из участков берут пробу, причем участок и место, где берут пробу, выбирают случайно. Случайный отбор может происходить с использованием разных способов, один из них можно назвать способом урны. Сначала скатывают в трубочки листки бумаги с написанными на них номерами канав, кладут в урну, перемешивают и затем выбирают, далее тем же образом приготавливают 7 листков бумаги с предварительно написанными на них содержаниями металла и выбирают из урны один листок.

Вопрос. Какая вероятность появления пробы с содержанием 4%?

Появление события B (то есть появление пробы с содержанием 4%) может произойти только вместе с одним из событий К1, К2, К3 - то есть, появление события В может произойти только в одном из трех участков нашей канавы. События К1, К2, К3 образуют полную группу несовместных событий (событий, которые не могут появиться одновременно в данном опыте), но то что одно из этих событий произойдет в данном опыте равно 100% . Назовем эти события – гипотезами.

Вероятность события В определяется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе по следующей формуле

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

Это формула полной вероятности. Событие B может появиться только в комбинации с одной из гипотез К1, К2, К3, образующих полную группу несовместных событий. Комбинации К1В, К2В, К3В так же несовместны, так как несовместны гипотезы К1, К2, К3. Применяя к данным комбинациям (гипотезы-события) теорему сложения получим

P(B) = P(B/K1) + P(B/K2) + P(B/K3) = ∑P(B/Ki)

Далее применим теорему умножения и получим

P(Ki, B) = P(Ki)*P(B/Ki)

Поэтому

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

По условию задачи гипотезы К1, К2, К3 - равновозможные, следовательно

P(K1) = P(K2) = P(K3) = 0.33

Следовательно легко можно рассчитать, что вероятность появления события В ( то есть вероятность появления пробы с содержанием 4 %) равна

P(B) = P(4%) = 0.33*0.285 + 0.33*0.285 + 0.33*0.572 = 0.38

Таким образом, наугад взятая в канаве проба с вероятность 38% покажет содержание металла равное 4 % .

Такая же вероятность получится, если мы рассчитаем ее по простой формуле, однако, если гипотезы не равны друг другу, то есть например, длина участков будет разная, а количество проб то же, то по простой формуле вероятности мы уже не получим этот же результат.

Лекция 3








Дата добавления: 2019-04-03; просмотров: 384;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.