Теоретические модели распределения дискретных случайных величин.

Биноминальное распределение.

Классический пример дискретного распределения приводится во всех учебных пособиях по теории вероятности и связан с бросанием монеты. Одно бросание монеты имеет два исхода: герб и не герб, появление которых равновозможное и несовместно. Поэтому вероятность выпадения герба равна 0.5. Это означает, что при достаточно большом числе бросаний в половине случаев будет выпадать герб, а в половине случаев не герб. Если вероятность выпадения одного герба равна 0.5, то вероятность выпадения двух гербов подряд при двух бросаниях равна 0.25, а вероятность выпадения трех гербов подряд при трех бросаниях равна 0.125 (теорема умножения вероятности). Предположим, что нужно определить вероятность выпадения одного герба в трех бросаниях. Имеются следующие возможные исходы (Г – герб, Р – решка).

ГГГ ГРГ РРР

ГГР РГГ [РГР]

[ГРР] [РРГ]

В скобках находятся комбинации, в которых выпало по одному гербу. Всего возможны три комбинации, в которых выпадает один герб при трех бросаниях или по другому возможны три комбинации с одним успехом в трех следующих друг за другом опытах. Символически это изображается как (ⁿ_r) или n по r, где n – это число опытов, а r – это число успехов. Число комбинаций в n опытах при r успехах легко рассчитать по формуле

n! / r!(n-r)! .

В данном случае

(ⁿ_r) = (³₁) = 3! / 1!*(3-1)! = 3*2*1 / 1*(2*1) = 6 / 2 = 3

Так же по этой формуле можно рассчитать число возможных комбинаций, содержащих 2, 3 или 0 успехов. Напомним, что 0! = 1, а не нулю. Число возможных комбинаций в 2 успехах равно 3, число комбинаций 3 успехов равно 1, и при нуле успехов число комбинаций также равно 1, при общем числе возможных комбинаций равном 8. Обозначим вероятность выпадения герба буквой p, а решки – буквой q, при чем ясно, что q = 1-p.

В этом случае мы можем переписать возможные исходы при трех бросаниях как

p³ p²q q

qp² qp² pq²

q²p q²p

Полную систему событий можно записать как

q³ +3q²p +3p²q +p³ =1 = (q+p)³

Так как по теореме сложения вероятности, верно, то, что любая из этих комбинаций обязательно произойдет, то полная вероятность равна 1. Это можно подтвердить и прямым расчетом

0.5³ + 3*0.5² + 3*0.5²*0.5 + 0.5³ = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

Так как вероятности p и q являются членами бинома Ньютона, то и это распределение получило название биноминального распределения. Так как конкретное число комбинаций рассчитывается по формуле n! / r!(n-r)!, то общую формулу биноминального распределения можно написать как

P(n) = n!/r!(n-r)! *( p^r * q^n-r).

Эксперимент с бросанием монеты имеет три особенности:

1. В каждом испытании имеется только два возможных исхода – успех и неудача.

2. Исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов, и вероятность успеха остается постоянной.

3. Испытания повторяются заданное число раз.

Распределение вероятностей, соответствующее указанному типу экспериментов называется биноминальным распределением.

В качестве примера можно назвать предсказание успеха при бурении поисковых скважин, предназначенных для обнаружения какого-либо полезного ископаемого – нефти, газа, золота, железной руды и так далее.

Каждое испытание или бурение каждой скважины может быть классифицировано как “открытие” (успех), либо как “пустая скважина” (неудача). Успех или неудача при бурении каждой последовательной скважины не зависит от предыдущих результатов бурения, так же как и решение продолжать или не продолжать бурить. Число скважин ограничено денежными средствами, выделяемыми корпорациями или государством в конкретный период времени для поисков на данной территории. В данном случае биноминальное распределение будет подходящим для расчета вероятности успеха, то, есть для расчета вероятности открытия новых объектов, имея ограниченное количество средств. За вероятность открытия новых залежей на прогнозируемой территории могут приниматься субъективные оценки, научные разработки. Однако мы уже знаем, что в статистике используется подход, рассматривающий появление какого-либо события в предшествующем опыте. То есть прогнозирование новых залежей полезных ископаемых должно исходить из анализа, сколько раз были встречены новые залежи в похожих геологических условиях. Такой подход не противоречит научному подходу, он просто его дополняет, так как даже самые продвинутые научные достижения все равно включают некоторую долю неуверенности. Вероятность того, что при бурении на прогнозируемой территории среди n скважин (общего запланированного количества скважин) будет r успешных скважин можно рассчитать по формуле

P(r) = [n!/(r!*(n-r)!)] *( p^r * q^n-r).

Предположим, что мы хотим рассчитать вероятность успеха программы поисково-разведочных работ, включающей бурение 5 глубоких скважин на территории, хорошо изученной специалистами-геологами и научными работниками и выдвинувших смелые гипотезы о рудоносности конкретных тектономагматических структур, широко развитых на данной территории. Однако не смотря на то что уже доказано, что подобные структуры являются рудоносными, промышленные объекты были выявлены только в одном районе из десяти, в которых проводились поисково-разведочные работы, то есть вероятность успеха – обнаружение промышленных залежей полезных ископаемых в новом одиннадцатом районе равна 10%.

Какая вероятность того, что вся программа, включающая бурение только 5 скважин будет полностью провалена. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 0, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ не одна из скважин не встретит залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5!/5!*0!)*1*0.9⁵ = 1*1*0.59 = 0.59.

В этом случае вероятность полного провала данной программы будет составлять около 60%.

Какова вероятность, того, что одна из заявленных скважин подсечет залежь с промышленными содержаниями полезного компонента. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 1, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ одна из скважин вскроет залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5!/4!*1) *0.1 * 0.9⁴= 5*0.1*0.25 = 0.328.

В этом случае вероятность успеха будет составлять около 33%. Используя либо уравнение или таблицу биноминального распределения, она опубликована во многих учебных пособиях по статистике, легко найти вероятности всех возможных исходов в данной программе, включающей бурение только 5 скважин. Ясно, что увеличение количества скважин в данном проекте приведет к увеличению вероятности успешного его завершения. Приведенные расчеты могут быть весьма полезными для горнорудных корпораций или геологоразведочных компаний при составлении планов бурения на прогнозных территориях. Нужно добавить, что этот способ имеет еще одну очень важную особенность, скважины в пределах предполагаемых рудоносных структур должны располагаться случайным образом, отсюда этот способ расположения скважин для наилучшего достижения результата на изучаемой территории получил название метода дикой кошки (здесь подразумевается, что невозможно спрогнозировать направление каждого шага дикой кошки). Метод дикой кошки не противоречит научному подходу к решению данной проблемы, так как даже самые современные методы поисков и разведки и самые продвинутые научные гипотезы не позволяют определить точное положение залежей полезных ископаемых в земной коре, они могут только значительно сузить радиус поисков.