Представление чисел со знаком в ЭВМ

Формы представления чисел в ЭВМ

Для представления чисел в ЭВМ используются формы представления с фиксированной и с плавающей запятой.

Представление чисел в форме с фиксированной запятой (ФТ).

В случае целых чисел запятая фиксирована справа от младшего разряда. В случае правильных дробей запятая фиксирована слева от старшего разряда. В обоих случаях диапазон представимых чисел, определяемый как отношения максимального числа в заданной разрядной сетке к модулю минимального представимого в этой разрядной сетке числа, равен D_ФТ= 2ⁿ-1.

Представление чисел в форме с плавающей запятой (ПТ).

Эта форма представления называется также логарифмической. Число представляют в виде мантиссы m и порядка Π. Используется нормализованное представление чисел с плавающей запятой, при котором диапазон возможных значений мантиссы определяется неравенством p^-1£ |m| < 1, и p^П, где р основание системы счисления, П – целое двоичное число, разрядность которого определяет диапазон представимых чисел, m – правильная дробь, разрядность которой определяет точность вычислений. В случае k-разрядной сетки порядка (k числовых разрядов) порядок принимает значения –(2^k-1) £ П £ (2^k-1). Поэтому диапазон представимых чисел в форме с плавающей запятой в случае нормализованного представления равен

Вычисления в форме с плавающей запятой являются принципиально не точными. Ошибка вычислений связана, с одной стороны, с погрешностью исходного представления числа, обусловленная ограниченностью разрядной сетки мантиссы, и с другой стороны, с алгоритмическими особенностями выполнения операций с плавающей запятой.

Представление чисел со знаком в ЭВМ

Для кодирования знака используется один бит, который принимается равным 0 в случае положительного числа, и 1 – отрицательного. В формате регистра знаковому разряду отводится определенное место. В записи числа A знаковый разряд обозначается как SgA.

Для представления чисел со знаком применяют три вида кодов. Правило записи чисел со знаком не зависит от того, в каком месте фиксирована запятая. В определении правил записи чисел будем в дальнейшем подразумевать, что запятая фиксирована слева от старшего разряда, имея в виду, что при выполнении действий с плавающей запятой операции сложения, умножения, деления выполняются над мантиссами, а порядки в соответствии с логикой операции выравниваются, складываются или вычитаются.

Прямой код представляет числа со знаком в соответствии с правилом:

Например, [0,1101]_П=0,1101; [-0,1101]_П=1,1101. Знаковый разряд несет в случае прямого кода смысловую, но не арифметическую нагрузку и не может участвовать в подсуммированиях. Алгебраическое сложение в прямом коде невозможно. Поэтому прямой код, как правило, не применяется для выполнения арифметических операций.

Дополнительный код:

где p – основание системы счисления.

Основание любой системы счисления представляется кодом 10.

Пусть А=-0,1101. Дополнительный код определится следующим образом:

10,0000

-0,1101

1,0011 - это дополнительный код числа А. Чтобы получить его, достаточно инвертировать все цифры в естественной записи числа, включая знаковый разряд, до последней значащей цифры. Последняя значащая цифра не инвертируется. Знаковая цифра в дополнительном коде имеет вес 2⁰=1. Поэтому знаковый разряд принимает участие в выполнении арифметических операций наравне с числовыми разрядами.

Дополнительный код позволяет выполнять операции алгебраического сложения. Результат при этом получается автоматически с правильным знаком. Единица переноса, спадающая со знакового разряда при сложении, теряется.

В обратном коде код числа образуется в соответствии с правилом:

где n – количество числовых разрядов, p – основание системы счисления.

Для представления отрицательного двоичного числа в обратном коде достаточно проинвертировать все цифры в естественной записи числа, включая знаковую цифру. Например,

[-0,1101]_О = 1,0010; [0,1101]_О = 0,1101.

Знаковый разряд в обратном коде, так же, как в дополнительном, имеет вес 1 и участвует в подсуммированиях наравне с числовыми разрядами. Из правила образования обратного кода следует, что для получения дополнительного кода отрицательного двоичного числа достаточно прибавить 1 в младший разряд его обратного кода.

Алгебраическое сложение двоичных чисел в обратном коде дает автоматически результат в обратном коде с правильным знаком.

Сформулированные правила справедливы для любой системы счисления. Необходимо иметь в виду, что в системе счисления с любым основанием разряды, занимающие позиции знакового разряда (слева от старшего разряда числа), складываются как двоичные.