Теория гармонических спектров сигналов

Сигналы

В радиотехнике важным понятием является сигнал – изменение физической величины, несущее информацию, кодированную определённым способом, либо синхронизированное отсутствие изменения физической величины. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым сообщением. Понятие "сигнал" позволяет абстрагироваться от конкретной физической величины, например тока, напряжения, давления в акустической волне и рассматривать вне физического контекста явления связанные с кодированием информации и извлечением её из сигналов, которые обычно искажены шумами. В исследованиях сигнал часто представляется функцией времени, параметры которой могут нести нужную информацию. Рассмотрим два примера.

Рис. 3.1.

Азбука Морзе. Буква "А".

Точка, пауза с длительностью точки, тире с длительностью в три точки. Паузы между буквами – три длительности точки, между словами – семь.

В 1957 г. в СССР был запущен первый в мире спутник. Он подавал сигналы, похожие на морзянку, но в длительности сигнала и паузы содержалась информация о давлении и температуре на борту.

Распространённым случаем является запись информации изменением параметров “синусоидальной” несущей.Можно записывать информацию, меняя амплитуду (АМ – амплитудно-модулированный сигнал), меняя частоту или фазу (ЧМ, ФМ – частотно- или фазово-модулированный сигнал). Если относительная величина модуляции мала (m << 1), то гармонические функции удобны для анализа. Удобным методом изучения свойств сигналов различной природы является Фурье-анализ.

Рис. 3.2.

Амплитудно-модулированный сигнал. "AM".

Рис. 3.3.

Амплитудно-модулированный
сигнал без несущей.
"DSB" (Double Sideband).

Рис. 3.4.

Сигнал несущей, промодулированной по частоте.

"FM" (Frequency Modulation).

Напряжение, модулирующее несущую.

Сигнал может иметь форму радиоимпульса (рис. 3.5А) или видеоимпульса (рис. 3.5Б). Можно сказать, что видеоимпульс – это огибающая радиоимпульса. А иногда говорят, что радиоимпульс – это видеоимпульс с высокочастотным заполнением. Заполнение не обязательно синусоидальное.

Рис. 3.5.

А – Радиоимпульс.

Б – Видеоимпульс.

Ряды Фурье

Если f(t) – "хорошая" периодическая функция с периодом , то её можно разложить в ряд Фурье.

(3.1)

(3.2)

Этот ряд можно записать и в другом виде:

Все необходимые тригонометрические формулы есть в приложении.

Окончательно: (3.3)

Где (3.4)

Аналогично:

(3.5)

Каждый отдельный член ряда (3.3) или (3.5) называется гармоникой. Часто гармоникой называют только амплитуду c_n .

Из формулы Эйлера .

Представляя каждый косинус в (3.5) суммой этих комплексно-сопряжённых слагаемых, получим:

(3.6)

Таким образом, разложение в ряд по косинусам можно заменить разложением по экспонентам, если ввести комплексные амплитуды гармоник:

(3.7)

(3.8)

Если договориться, что для отрицательных n мы будем вычислять то есть менять знак в (3.8) на минус не перед i, а перед n, то

(3.9)

Это разложение короче и симметричнее своего вещественного аналога и поэтому чаще применяется в физике.

Если в (3.1) косинус и синус записать по формулам Эйлера как

то получится:

Если сравнить это выражение с первой частью (3.8), то станет ясно, что комплексная амплитуда С̃_n связана с с_n и ψ_n , а также с а_n и b_n выражениями:

(3.10)

Сложим пару гармоник с номерами n и –n.

(3.11)

Получается, что сумма парных комплексных гармоник есть гармоника прежнего вещественного ряда Фурье.

Вещественная часть комплексного коэффициента С̃̃_n – чётная функция, а мнимая – нечётная по n.

(3.12)