Чётная по n нечётная

Заметьте, что фаза есть нечётная функция относительно n, то есть относительно частоты (см. (3.4), (3.10) и (3.12)), а модуль комплексной амплитуды – чётная. Это и продемонстрировано на рис. 3.6. Действительно, видно, что в (3.10) мнимые части коэффициентов разного знака, а их модули одинаковые.

Иногда говорят, что ряд (3.9) при отрицательных n содержит гармоники с отрицательными частотами nω₀ . Это странно, но этот формализм можно объяснить тем простым фактом, что нам пришлось привлекать комплексно-сопряжённые амплитуды гармоник и знак минус появился не перед n , а перед i . С другой стороны, круговая частота ω – родственница угловой скорости. А угловая скорость вращения комплексного числа может быть и отрицательной.

n n

Рис. 3.6.

Пример комплексного спектра. По горизонтальной оси отложены номера гармоник.

Для объяснения смысла гармоник с отрицательными частотами обратимся к простейшему гармоническому колебанию и запишем его в виде двух разных выражений:

(3.13)

(3.14)

Первому выражению соответствует векторное представление, изображённое на рис. 3.7 А, а второму выражению – на рис. 3.7 Б.

Вещественная функция f(t) получается в первом случае как проекция вектора ,

равная А cos(ω₀ t – ψ), а во втором – как сумма проекций на ту же ось двух векторов (3.14) с

амплитудами , вращающимися с круговой частотой ω₀ во взаимно противоположных

направлениях: – против часовой стрелки, – по часовой.

В сумме они дают ту же вещественную проекцию.

В соответствии с этим второе слагаемое в (3.14) можно трактовать как колебание с отрицательной в некотором смысле частотой. Видно, что в данном случае отрицательные частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления вещественной функции времени.

Рис. 3.7 А и Б. К объяснению смысла гармоник с отрицательными частотами.

P.S.