Предельные вероятности состояний.

Пусть имеется техническая система с дискретными состояниями, в которой протекают марковские случайные процессы с непрерывным временем. Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящие систему из состояния в состояние постоянны, т.е. все потоки событий –– простейшие (стационарные пуассоновские).

Сформулируем следующую задачу: что будет происходить с системой при стремлении t ® ¥ ? Если функции Pi(t) будут стремиться к каким-либо пределам, то будем их называть предельными вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение.

Если число состояний системы конечно и из каждого состояния за конечное число шагов можно перейти в любое другое (замкнутая система, рис.2.10), то предельные вероятности состояний существуют и они не зависят ни от времени, ни от начального состояния системы.

При этом, естественно, сохраняется условие:

(2.43)

Для разомкнутых систем (рис. 2.11) предельных состояний не существует.

 

 

Рис. 2.10

а) граф замкнутой системы

 

Рис. 2.11

б) граф разомкнутой системы

 

Таким образом, при t ® ¥ в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим, который состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний реализуется с некоторой постоянной вероятностью Pi.

При этом предельная вероятность Pi представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном i-м состоянии, т.е. после перехода системы в установившийся режим работы она будет находиться в состоянии Si в течение времени, пропорциональном Pi.

Например, если система имеет состояния S0, S1, S2 и предельные вероятности равны 0.4, 0.1, 0.5, то после перехода в установившийся режим 40% времени система будет находиться в состоянии S0, 10% –– в состоянии S1 и 50% –– в состоянии S2.

Для вычисления предельных вероятностей в системе дифференциальных уравнений Колмогорова необходимо левые части уравнений положить равными нулю (как производные от постоянных, поскольку теперь вероятности состояний не зависят от времени). Тогда исходная система дифференциальных уравнений трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, решение которых совместно с (2.43) дает возможность определить предельные вероятности Pi.

 

Размеченный граф замкнутой системы имеет следующий вид.

 

 

Рис. 2.12. Размеченный граф замкнутой системы.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова:

(2.44)

 

Учитывая независимость предельных вероятностей от времени, получим соответствующую линейную систему алгебраических уравнений:

(2.45)

 

Для решения этой системы воспользуемся пакетом Mathcad. Для исключения нижних символов введем обозначения:

Решение.

Пðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè. Ðåøåíèå â ñèìâîëàõ. Пакет Mathcad. Ðàçìå÷åííûé ãðàô ñèñòåìû (рис 2.12).
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

Таким образом, расчетные зависимости предельных вероятностей рассматриваемой системы принимают вид:

 

 

 

Численное значение предельной вероятности соответствует относительному времени пребывания системы в данном состоянии.

 

Вопросы для самоконтроля.

Дайте определение технической системы, устройства и элемента. Что называется надежностью технической системы.

Назовите основные причины недостаточной надежности систем.

Что такое цена надежности? Как изменяется стоимость технической системы в зависимости от ее надежности?

Дайте определение основных понятий теории надежности.

Назовите основные количественные характеристики надежности технической системы.

Напишите выражения для плотности распределения времени безотказной работы системы, частоты отказов, интенсивности отказов и частости отказов технической системы.

Сделайте вывод среднего значения времени наработки системы на отказ.

 








Дата добавления: 2019-02-07; просмотров: 939;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.