Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов А.Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть Ω - множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S - алгебра событий. Напомним, что совокупность S подмножеств множества Ω, называется алгеброй (σ-алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. S содержит невозможное и достоверное события.

2. Если события (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для ) этих событий.

Вероятностью называется функция Р(А), определенная на алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события неотрицательна, т.е.

.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

A3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если , то

.

Совокупность объектов (Ω, S, Р), где Ω - пространство элементарных событий, S - алгебра событий, Р - числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1-АЗ, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.

Свойства вероятностей

Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.

С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

.

СЗ. Вероятность любого события не превосходит единицы, т.е.

.

С4. Если , т.е. событие А влечет за собой событие В,то

.

С5. Если события образуют полную группу несовместных событий, т.е. и , то .