Различные виды уравнений прямой в пространстве.

1. Общие уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и (рис. 2.23). То есть, общие уравнения прямой в пространстве можно представить в виде

(2.67)

При решении многих задач удобно пользоваться так называемыми каноническими уравнениями прямой в пространстве. В эти уравнения входят такие величины, как координаты направляющего вектора (параллельный вектор прямой в пространстве) и координаты точки , принадлежащей прямой Если на прямой взять точку с текущими координатами (точка , то очевидно, что векторы и (рис. 2.23) коллинеарны, то есть (см. § 2.2)

(2.68)

(2.68) и есть канонические уравнения прямой в пространстве. Заметим, что, например, если то имеем

Метод приведения общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду покажем на примере экономического характера.

Пример 2.18.Предприятие выпускает трех видов продукции в количестве единиц. При применении первой технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 20, 50, 30 руб. с единицы. При применении второй технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 15, 40, 60 руб. с единицы. Определить производственные программы предприятия, дающие при разных технологиях одинаковую прибыль, равную 300 руб.

Решение.Из условий задачи имеем

(2.69)

Как видно из (2.69), задача экономического характера математически сводится к общим уравнениям прямой в пространстве. Приведем эти уравнения к каноническому виду. Так как то можно дать произвольное значение, например, Тогда из (2.69) получим

То есть нашли точку которая принадлежит прямой в пространстве. Далее заметим, что направляющий вектор равен

Тогда согласно (2.68) получим

Ответ: должны удовлетворять уравнениям

Отметим, что из канонических уравнений прямой в пространстве (2.68) можно получить параметрические уравнения прямой в пространстве. Для этого в канонические уравнения включим параметр следующим образом

или

(2.70)

Уравнения (2.70) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 2.19.Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и через прямую :

Решение.Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид

(2.71)

где пока неизвестные числа. Основываясь на условия задачи, для неизвестных выраженные через получим следующие три уравнения.

1. Плоскость проходит через точку . То есть имеет место уравнение

2. то есть Последнее означает, что имеем уравнение

3. , то есть

Итак, получили следующие три линейных уравнения относительно неизвестных

Решая систему по правилам Крамера, получим:

(2.72)

Подставляя (2.72) в (2.71) и поделив обе части уравнения на получим

Ответ: