Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число, которое получается, когда два вектора (например, и ) умножаются векторно и результат (вектор ) умножается на третий вектор скалярно, то есть Отметим, что значение смешанного произведения не меняется при циклической перестановке векторов

Геометрически модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах (рис. 2.11), то есть

(2.24)

где При этом если , то а если то

Если векторы даны своими координатами , то смешанное произведение этих векторов примет вид (2.25)

Учитывая, что из (2.25) получим

(2.26)

(2.16) представляет выражение смешанного произведения трех векторов в координатах.

Три ненулевых вектора и в трехмерной прямоугольной системе координат называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях (рис. 2.12).

Теорема 2.3.Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов и является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов.

Доказательство:

Необходимость. Дано, что векторы и компланарны. Доказать, что

Так как по условию теоремы векторы компланарны, то векторное произведение

есть вектор, который перпендикулярен вектору Но тогда их скалярное произведение равно нулю. Другими словами, на трех компланарных векторах, как на сторонах, нельзя построить параллелепипед.

Достаточность. Дано, что Доказать, что векторы и компланарны.

По условию теоремы векторное произведение и вектор перпендикулярны. То есть, векторы и компланарны.

Пример 2.10. Показать, что векторы компланарны.

Решение.Вычислим по формуле (2.16). Имеем

Тогда согласно теореме 2.3 векторы и компланарны.

Ответ:векторы компланарны.