ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ РЕГРЕССИИ

Количественной мерой адекватности является отношение дисперсии S², определяемой рассеянием значений y_i вокруг линии регрессии, к дисперсии S_y², определяемой рассеянием значений y_i вокруг своих средних .

Если:

, (4.79)

где - α – квантиль распределения Фишера с f₁=n-2 и f₂=m-1 степенями свободы.

Тогда ошибка в определении регрессии с доверительной вероятностью α признается статистически значимой (m – объем выборки, по которой выполнена оценка дисперсии S_y², т.е. число дублируемых наблюдений для каждой серии y_i).

Если дисперсия S_y² определяется по дублируемым значениям y_i, то оценкой является средневзвешенная дисперсия:

(4.80)

где (4.81)

(4.82)

Пример:проверить адекватность регрессии для данных:

Доверительная вероятность α=0,95. Для оценки S_y² предварительно проводилась серия наблюдений над случайной величиной у при неизменной величине x (m=10):

Получаем: S²=13,4755. По отдельной серии наблюдений находим оценку:

Далее имеем:

Из таблиц F–распределения [8] имеем: .

Так как F=1,148 < F_0,95(8,8)=3,438, то с вероятностью α=0,95 следует сделать вывод о статистической неразличимости сравниваемых дисперсий, а следовательно, об адекватности уравнения регрессии.

4.3.2.2.2. АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫХ ОСТАТКОВ [12]

Определенную информацию об адекватности уравнения регрессии дает исследование остатков вида . Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную зависимость между у и х, то остатки должны быть независимыми (см. ниже) нормально распределенными случайными (см. раздел 4) величинами, с нулевым средним и в значениях e_i должен отсутствовать тренд.

Независимость в последовательности значений е_i (i=1,…,n) может быть проверена с помощью сериального коэффициента корреляции Дарбина-Ватсона [41]. Статистика сериального коэффициента корреляции Дарбина-Ватсона имеет вид:

(4.83)

где е – разница между наблюдаемым и предсказанным в модели значением зависимой переменной.

Автокорреляция остатков обычно свидетельствует об ошибках в спецификации модели, например, о неправильно выбранной форме связи между переменными, о не включении в модель существенного фактора. Модель с автокорреляцией в остатках нельзя использовать для дальнейшего анализа, так как полученные результаты будут недостоверными.

Выводы о наличии, либо отсутствии автокорреляции делаются на основе специальных статистических таблиц, в которых для заданного числа наблюдений n, уровня a (доверительная вероятность) иk (число независимых переменных) указаны критические значения d₁ и d₂ (таблица 4.16).

1. d<d₁. Данная ситуация свидетельствует о положительной автокорреляции остатков. Полученную модель использовать нельзя.

2. D₁≤d≤d₂. Рассчитанная статистика попала в зону неопределенности. Нельзя ни подтвердить, ни отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Дальнейшие выводы по такой модели должны быть очень осторожными.

3. D₂<d<4-d_2. Гипотеза об отсутствии автокорреляции подтверждается. Модель можно использовать для анализа.

4. 4-d₂≤d≤4-d_1. Рассчитанная статистика попала в зону неопределенности. Нельзя ни подтвердить, ни отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Дальнейшие выводы по такой модели должны быть очень осторожными.

5. d>4-d_1. Данная ситуация свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. Полученную модель использовать нельзя.

Таблица 4.16

Критические значения статистики Дарбина-Ватсона [12]

Окончание таблицы 4.16

Пример: для полученных в результате эксперимента данных (n=15) проверить наличие корреляции регрессионных остатков критерием Дарбина-Ватсона при доверительной вероятности α=0,95:

Вычислим оценки регрессии методом наименьших квадратов:

Тогда:

Находим регрессионные остатки по уравнению:

Получаем следующие значения:

0,3417; 0,1024; 2,8631; 0,6238; -0,6155; 1,1452; -2,0941; -0,3334; -4,5727; -4,8120; 3,848; 1,7094; -1,5299; 1,2308; 1,9915.

Вычисляем статистику Дарбина-Ватсона:

Из таблицы 4.16 для α=0,95, k=1 (так как регрессия y=a+b·x, имеем одну независимую переменную) и n=15 имеем D₁(0,95)=1,08 и D₂(0,95)=1,36.

Строим шкалу статистики Дарбина - Ватсона (см. рисунок 4.6) и попадаем в зону отсутствия автокорреляции остатков. Следовательно, наличие корреляции остатков регрессионной модели y=6,581+0,7606·x с достоверностью α=0,95 отклоняется.