Исчисление высказываний

Пусть интерпретация определена на всех высказывательных переменных, встречающихся в формулах множества . Говорят, что выполняет или модель , если каждая формула из принимает значение «истина», при интерпретации . Говорят, что выполнимо, если имеет модель. Если не выполнимо, то пишут ÷=.

Пусть – множество формул логики высказываний, А – произвольная формула. Говорят, что множество логически влечет формулу А, если любая модель являются моделью для А и обозначается ÷= А.

Утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок), называется аргументом. Аргумент часто представляют в виде:

... гипотезы

заключение

Аргумент называется правильным, если из множества гипотез логически следует заключение аргумента.

Второе правило исчисления высказываний: Modus Ponens.

Логика предикатов

С помощью формул логики высказываний можно описать структуру сложных высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний (т.е. высказываний, не содержащих связок) используются другие средства, которые вместе с логикой высказываний образуют логику предикатов.

Чтобы яснее представить о какой логической структуре идет речь, рассмотрим пять высказываний:

1. 15 – нечетное число.

2. 8 – нечетное число.

3. 6 5.

4. В Ярославле жителей больше, чем в Вязьме.

5. В Москве жителей больше, чем в любом другом городе России.

Все эти высказывания – простые и, следовательно, в логике высказываний изображаются одной буквой. Все, что о них можно сказать в этой логике, – это то, что высказывание (2) ложно, а остальные – истинны.

В то же время ясно, что между высказываниями (1) и (2) или между (4) и (5) сходства гораздо больше, чем между (1) и (5).

В высказываниях (1) и (2) речь идет о числах, которым приписывается одно и то же свойство – нечетность. В высказывании (3) утверждается наличие отношения неравенства между числами. В высказываниях (4) и (5) говорится о городах, относительно которых утверждается наличие некоторого отношения между ними – «иметь больше жителей».

Числа и города – это объекты. Множество объектов (целых чисел, городов России и т.д.), о которых делаются утверждения, называется предметной областью, а сами утверждения об отношениях между объектами называются n-местными предикатами.

С математической точки зрения:

n-местный предикат – это функция от переменных, причем переменные принимают значения из предметной области, а функция принимает два логических значения – истинно и ложно.

Нечетность – это одноместный предикат. Если его обозначить через , тогда высказывания (1) и (2) запишутся как и , т.е. как один и тот же предикат нечетности с разными значениями (15 и 8) переменной , взятыми из одной и той же предметной области целых чисел.

«Иметь больше жителей» – это двуместный предикат . Высказывание (4) можно записать как .

Неравенство – тоже двуместный предикат, для обозначения которого можно сохранить обычную запись: .

Таким образом, формулы вида и - это переменные высказывания, которые становятся истинными или ложными при подстановке вместо и предметных констант – конкретных объектов из предметных областей.

Кроме того, из предикатов можно получать конкретные высказывания, не содержащие предметных констант, а утверждающих нечто обо всей предметной области.

В естественном языке это делается с помощью оборотов «для всех (т.е. для всех объектов) справедливо, что…» и «существует такой , что…».

В языке формул логики предикатов этим оборотам соответствуют специальные знаки – кванторы: квантор общности и квантор существования .

Присоединение квантора с переменной к предикатной формуле, содержащей , называется навешиванием квантора на переменную . Переменная при этом называется связанной, вместо нее подставлять предметные константы уже нельзя.

Например, формула означает «для всех целых чисел справедливо то, что они нечетны» или, короче, «все целые числа – нечетны». Это – конкретное высказывание, которое ложно. Формула означает истинное высказывание «существуют нечетные целые числа».

Если квантор навешивается на формулу с несколькими предметными переменными, то он уменьшает число свободных (несвязанных) переменных в этой формуле. Например, формула обозначает высказывание «в городе больше жителей, чем в любом городе « и содержит одну свободную переменную . Это высказывание ложно для любого , потому что «любой город» подразумевает в том числе и , но ни в каком городе не может быть больше жителей, чем в нем самом. «Шансы на истинность» имеет уточненное высказывание: «в городе больше жителей, чем в любом другом городе , не совпадающем с »:

,

в которой оба вхождения переменной связаны квантором (с помощью скобок). Подстановка «Москва» вместо дает формулу, выражающую истинное высказывание (5).

Как и в логике высказываний, в логике предикатов имеются эквивалентные соотношения, позволяющие преобразовывать предикатные формулы. Например,

- один квантор можно выразить через другой:

, ,

- формулу, не содержащую переменную , можно вынести за пределы действия квантора, связывающего :

; .

Однако, в целом, логику предикатов не удается представить в виде алгебры, столь же эффективной как алгебра логики (т.к. вычисление истинности предикатов, содержащих кванторы, в общем случае заключается в подстановке всех возможных значений предметных переменных, которых может быть бесконечное множество).

Поэтому логика предикатов организуется в виде исчисления предикатов, которое содержит аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, а также дополнительные предикатные аксиомы и правила вывода.

В качестве аксиом обычно принимаются две формулы:

, (1)

, (2)

где – любая предикатная формула, содержащая свободную переменную , а в качестве правил вывода – правила, вводящие кванторы:

, (3)

, (4)

в этих правилах требуется, чтобы формула содержала свободную переменную , а ее не содержала.

Пример.

Рассмотрим известнейший силлогизм, на протяжении двух тысячелетий переходящий из одних ученых трудов в другие:

Все люди смертны.