Логика высказываний

Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Значением истинного высказывания является «И» – истина, ложного – «ложь».

Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения («Сумма пяти и восемнадцати»), в которых ничего не утверждается, не являются высказываниями.

Предметом логики является анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений.

Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и способы установления истинности высказываний, построенных таким образом, изучаются в логике высказываний.

Основные логические связки - это связки: и, или, не, если … то…, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …); если, и только если (тогда и только тогда).

Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.

Таблица 1

Связка	Название	Обозначение	Высказывание, полученное с помощью связки	Математическая запись
1. и	конъюнкция (или логическое умножение)	&, Ù, ×	А и В	А & В, А Ù В, А × В, АВ
2. или	дизъюнкция	Ú, +	А или В	А Ú В, А + В
3. не	отрицание, инверсия	Ø, ¾	не А	, ØА
4. если …, то …	импликация	®, É	если А, то В (А влечетВ)
5. либо …, либо …	исключающее «или», неравнозначность	Å, D, ¹	либо А, либо В	А Å В, А D В
6. если и только если	эквивалентность, равнозначность	º, ~, «	А, если и только еслиВ	А º В, А ~ В

В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний. С помощью букв А, В, С, ... обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.

Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и является основным предметом логики высказываний.

Существуют два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.

Алгебра логики

Алгебра логики рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовать по определенным правилам. Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).

В формулах алгебры логики переменные – это высказывания.Они принимают только два значения – ложь и истина, которые обозначаются либо 0 и 1, либо Л и И, либо false и true.

Каждая формула задает логическую функцию: функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.

Таблица функций одной переменной:

	Константа 0:	Тождество:	Отрицание:	Константа 1:

Таблица функций двух переменных , соответствующих основным логическим связкам:

		Дизъюнкция	Конъюнкция	Импликация	Эквивалентность (равнозначность)	Неравнозначность (сложение по модулю 2)	Штрих Шеффера (НЕ – И)	Стрелка Пирса (НЕ – ИЛИ)

Значение любой логической формулы, содержащей знаки этих функций, на заданном наборе значений переменных можно вычислить, используя эти таблицы.

Интерпретацией формулы логики высказываний называется набор значений высказываний, входящих в нее.

Формула F называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает значение «истина» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных.Формула F называется выполнимой, если при некоторых значениях ее высказывательных переменных она принимает значение «истина». Такой набор значений высказывательных переменных называется моделью формулы F.