ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1. Производная. Правила дифференцирования

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим значению переменной в точке приращение , при этом получит приращение . Если существует конечный предел

то он называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается . Общеприняты и другие обозначения производной функции

: , ; если же зависит от значения переменной (времени), то часто вместо пишут . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала , то становится функцией, определённой на (a, b).

Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции .

Решение. Придадим значению переменной x приращение Dx, тогда функция получит приращение

Dy = f(x + Dx) – f(x) = sin (2(x + Dx) + 1) – sin (2x + 1) =

= 2 sin Dx cos (2x + Dx + 1).

Отсюда находим

Таким образом, .

Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.

2. Таблица производных

(Здесь и ниже C – постоянная величина.)

; ; ;

; ;

; .

3. Правила дифференцирования

Если функции f(x) и g(x) имеют производные и , то функции , , , также имеют производные (последняя – при условии ), и при этом

; ;

; .

Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x₀, и z = g (y), определённая в окрестности точки , обладают тем свойством, что существуют производные и . Тогда функция имеет производную в точке x₀ и при этом

Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим

= ;

в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим

= ;

Пример 3.Показать, что функция удовлетворяет уравнению

. (1)

Решение. Найдём производную функции

Подставив это выражение в (1), получим

или .

Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению (1).

Для дифференцирования степенно-показательной (вида ) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.

Пример 4. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение.а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем

Продифференцируем обе части последнего равенства, считая сложной функцией от :

;

отсюда находим

Подставив , получим

б) действуя так же, находим

;

4. Производные высших порядков

Производную от производной называют второй производной от функции f(x) и обозначают . Производную от называют третьей производной функции f(x) и обозначают . Таким образом,