Говорят, что уравнение

F(x, y) = 0 (2)

неявно задаёт функцию y = f(x) в интервале (a, b), если для любого уравнение F(x0; y)=0 имеет единственное решение y0 = f(x0).

Для нахождения производной функции , заданной неявно уравнением (2), следует продифференцировать обе части равенства (2), считая функцией от ; затем полученное уравнение, в которое будут входить x, y и , следует разрешить относительно .

Для нахождения равенство (2) дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее x, y, , , которое следует разрешить относительно , затем вместо подставить функцию от x и y, найденную указанным выше способом.

Пример 6.Найти значения , , если функция y задана неявно уравнением

. (3)

Решение. Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства (3): ;

; . (4)

Отсюда находим

; (5)

.

Для нахождения y(0) в равенстве (3) положим x = 0:

; ; y(0) = 1.

Таким образом,

.

Найдём , для чего продифференцируем равенство (4):

;

;

.

Подставив в последнем равенстве вместо выражение (5), получим

,

откуда находим

.

Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями

то при условии существования производных , и существует производная и при этом

.

Вторая производная находится по формуле

,

или (что то же самое)

.

Пример 7. Найти , , если

Решение. Имеем:

; ;

;

6. Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x0, y0) имеет вид

,

а уравнение нормали в той же точке ,

где y0 = f (x0).

Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного прямой y = y0 +1, касательной и нормалью, проведёнными к графику

функции y = x3 + 2x2 – x + 1 в точке с абсциссой x0 = 1 и ординатой y0 .

Решение. Найдём ординату y0 точки касания и :

;

; .

Уравнением касательной является y = 3 + 6(x – 1) или 6x – y – 3 = 0. Уравнение нормали имеет вид или x + 6y – 19 = 0. Найдём координаты точек А и В (см. рисунок) прямой .

 

 

 

 

Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:

,

.

По этим данным найдём искомую площадь

7. Дифференциал первого порядка

Придадим аргументу x в точке x0 приращение , функция y = f(x) получит приращение . Если существует число А, такое что

, (6)

то говорят, что f(x) дифференцируемая в точке x0; линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x0 и обозначается или (или просто df , dy). Если x – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают .

Теорема 2. Функция f(x) дифференцируема в точке x0 в том и только в том случае, если f(x) имеет производную в этой точке. При этом .

Если в равенстве (6) отбросить бесконечно малую величину , то получим приближённое равенство

,

которое применяется для нахождения приближённого значения функции.

8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора

Дифференциалом второго порядка d2f(x) функции называется дифференциал от дифференциала , где рассматривается как функция от x: d2f = d(df). Дифференциалом третьего порядка d3f называется дифференциал от второго дифференциала: d3f = d(d2f) и т.д.

Если переменная x является независимой, то d2x = d3x = … = 0. В этом случае , ,..., ,… Для краткости вместо (dx)n принято писать dxn; с учётом этого .

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в этой окрестности имеет производные до (n+1) -го порядка включительно (т.е. дифференцируема (n+1) раз), то справедлива формула Тейлора

,

где Rn+1 (x) – остаточный член, являющийся бесконечно малой величиной при x ® x0. Остаточный член обычно записывают в виде

,

в форме Пеано или в форме Лагранжа

,

где с – некоторое число между x0 и x. Формула Тейлора допускает и другую запись через дифференциалы

.

Формулу Тейлора применяют для приближенных вычислений.

 








Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 284;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.