Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла представляет собой математическую формулировку закона Фарадея для явления электромагнитной индукции. Это явление было открыто в 1831 году. Сущность явления электромагнитной индукции состоит в том, что при изменении магнитного поля в замкнутом проводнике, находящемся в этом поле, возникает электрический ток.

Для того, чтобы в проводнике возник электрический ток, необходимо наличие источника электрического тока, источника ЭДС. Как известно, ЭДС обеспечивается сторонними силами, то есть такими силами, работа которых по замкнутому контуру не равна нулю. В замкнутом проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, приходят в движение электрические заряды, следовательно, на них действуют электрические силы, но не электростатические силы. Такими силами являются силы, действующие со стороны нового вихревого электрического поля, которое возникает при наличии переменного магнитного поля.

Так как проводник, в котором возникает электрический ток в переменном магнитном поле, чаще всего, связан с некоторой материальной средой, то для количественной характеристики магнитного поля используется понятие индукции магнитного поля . Индукция магнитного поля связана с напряженностью магнитного поля в системе единиц СИ формулой:

(2.7)

Здесь - магнитная постоянная вакуума, которая является фундаментальной постоянной величиной, а - магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз напряженность магнитного поля в веществе больше, чем напряженность магнитного поля в вакууме.

Как обобщение опыта, закон Фарадея для явления электромагнитной индукции имеет вид:

(2.8)

Здесь - ЭДС индукции, - магнитный поток. Магнитный поток определяется следующей формулой:

(2.9)

Здесь вектор нормали к поверхности площадью , а - проекция вектора индукции магнитного поля на вектор нормали к площадке.

Знак «минус» в формуле (2.8) описывает правило Ленца, которое основано на законе сохранения энергии. Согласно правилу Ленца, при изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в нем возникает индукционный ток, который своим магнитным полем препятствует причине его вызывающей.

Если же в пространстве имеется переменное магнитное поле, а никакого проводника нет, то в пространстве будет возникать вихревое электрическое поле, которое проявит себя как ЭДС при помещении проводника в такое переменное магнитное поле.

Тогда, обобщая эти опытные факты, можно записать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

(2.10)

(2.10.1)

Умножим скалярно выражение (2.10) на и проинтегрируем по всей площади поверхности, охваченной некоторым мысленно введенным проводником:

(2.11)

Левую часть формулы (2.11) преобразуем по формуле Стокса:

(2.12)

Формула (2.12) определяет работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой цепи, что из курса элементарной физики называется электродвижущей силой источника тока. Здесь роль источника тока играет переменное во времени магнитное поле.

Подставляем формулу (2.12) в формулу (2.11) и учтем, что интегрирование и дифференцирование можно менять местами:

(2.13)