Четвертое уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла исторически было выведено Гауссом и известно как теорема Гаусса или теорема Остроградского – Гаусса. Поэтому его можно вывести двумя способами.

Первый способ вывода четвертого уравнения Максвелла использует первое уравнение Максвелла и в этом случае предпочтительней, так как проверяет системность этих уравнений. Сущность этого вывода состоит в следующем.

Запишем первое уравнение Максвелла:

(2.25)

Используем определение плотности тока смещения:

(2.26)

Здесь - вектор электростатического смещения или вектор электрической индукции.

Подставляем формулу (2.26) в формулу (2.25) и осуществляем операцию «дивергенция» по отношению к правой и левой части:

(2.27)

Как было показано при выводе третьего уравнения Максвелла. Левая часть выражения (2.27) равна нулю. Тогда поменяем местами дифференцирование по времени и по координатам в правой части выражения (2.27) получаем:

(2.28)

Воспользуемся законом сохранения электрического заряда в векторной форме:

(2.29)

Здесь - объемная плотность электрического заряда.

Подставляем формулу (2.29) в формулу (2.28) и получаем:

(2.30)

Из формулы (2.30) находим:

(2.31)

Значение постоянной в формуле (2.31) находим из начальных условий, которые всегда можно выбрать так, чтобы она была равна нулю. Тогда получаем:

(2.32)

Формула (2.32) представляет собой четвертое уравнение Максвелла. Представленный вывод является формальным и отражающим системность группы уравнений. Поэтому рассмотрим второй вывод четвертого уравнения Максвелла, которое первоначально было известно как теорема Остроградского – Гаусса.

Теорема Остроградского – Гаусса может быть сформулирована для вектора напряженности электростатического поля и для вектора электрической индукции . В системе единиц СИ связь между этими векторами выражается формулой:

(2.33)

Здесь - электростатическая постоянная вакуума (она определяет скорость распространения электромагнитных волн в вакууме); - диэлектрическая проницаемость среды (вещества), в котором изучается электростатическое поле; , - проекции вектора электрической индукции и напряженности на нормаль.

Используя векторный анализ, вводится понятие потока линий вектора электрической индукции:

(2.34)

В качестве поверхности интегрирования выберем сферу, вблизи центра, которой расположены электрические заряды, создающие электрическое поле. Радиус сферы можно выбирать таким, чтобы область, занятая зарядами, была бы много меньше всей сферы. Тогда область, занимаемую зарядами, можно считать бесконечно малой, и в этом случае можно считать, что заряды находятся в центре этой сферы.

В этом случае радиус-вектор некоторой точки выбранной сферы и нормаль к сфере в этой точка совпадают по направлению, тогда в формуле (2.34) можно перейти от индекса к индексу радиус-вектора . Тогда поток линий вектора электрической индукции будет равен:

(2.35)

Чтобы найти вектор электрической индукции, используем формулу напряженности электрического поля, созданного точечным положительным электрическим зарядом:

(2.36)

Теперь поток линий вектора электростатической индукции определяется формулой:

(2.37)

В формуле (2.37) интеграл берется по замкнутой поверхности, внутри которой находятся заряды, величина которых равна . Они занимают малую область, что позволяет считать их точечными зарядами.

Интеграл в формуле (2.37) представляет собой полный телесный угол, под которым видна внутренняя поверхность сферы из ее центра. Тогда можно записать:

(2.38)

При этом первое значение телесного угла получается, если точка наблюдения находится внутри сферы. Тогда - это полный телесный угол, под которым видна внутренняя поверхность сферы из ее центра. В принципе это относится не только к сферической поверхности, но и к поверхности любой другой формы, лишь бы она была замкнутой.

Для объяснения второго случая надо учитывать, что телесный угол, под которым наблюдается некоторая поверхность, считается положительным, если направление взгляда на поверхность совпадает с направлением нормали к этой поверхности. И наоборот, телесный угол считается отрицательным, если направление взгляда противоположно направлению нормали к поверхности.

Рис.1. Определение телесного угла

На рисунке 1 представлена ситуация, в которой заряд, создающий поле находится в точке , и из этой точки определяется телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность. При этом видно, что левая часть поверхности наблюдается под положительным телесным углом, а правая часть поверхности – под отрицательным телесным углом. При этом модули этих телесных углов одинаковы. Тогда телесный угол, под которым видна вся поверхность из точки , равен нулю, что и соответствует второму случаю в формуле (2.38).

Подставляем формулу (2.38) в формулу (2.37) и получаем четвертое уравнение Максвелла в интегральном виде:

(2.39)

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом:

1. Если внутри некоторого объема находятся электрические заряды, то полный поток вектора электрической индукции равен величине заряда, находящегося внутри объема. В частном случае, если внутри объема зарядов нет, то полный поток вектора электрической индукции равен нулю.

2. Линии вектора электрической индукции начинаются на одних зарядах и заканчиваются на других зарядах. Условно принято, что линии начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных зарядах.

3. Если внутри некоторого объема нет электрических зарядов, то число линий, входящих в объем, равно числу линий, выходящих из объема.

Четвертое уравнение Максвелла можно записать в дифференциальном виде. Для этого воспользуемся теоремой векторного анализа (теорема Гаусса):

(2.40)

Кроме того, заряд также можно выразить через объемную плотность заряда:

(2.41)

В формулах (2.40) и (2.41) объем равен объему, заключенному внутри замкнутой поверхности .

Подставляем выражения (2.40) и (2.41) в формулу (2.39):

(2.42)

Из выражения (2.42) получаем:

(2.43)

В формулах (2.42) и (2.43) случай, когда поток вектора электрической индукции рассматривался как частный случай, соответствующий тому, что заряд внутри замкнутой поверхности равен нулю.