Расчет жесткости и прочности

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб f_mах от наибольшей нагрузки не должен превышать пре­дельно допускаемого. Обычно в балках предельное значение отно­шений f_mах/L регламентируется нормами. Норма жесткости для балок разных назначений различна, например, в подкрановых бал­ках f_mах/L < 1/600-1/700; в главных балках междуэтажных пере­крытий f_mах/L = 1/400.

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта минимальная высота определяется видом нагружения и допускаемыми напря­жениями. Рассмотрим, какова должна быть наименьшая высота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагружена рав­номерной нагрузкой (рис. 9.3 а).

Рис.9.3. К расчету сварной балки:

а – изогнутая ось балки от нагрузки q; б – поперечное сечение балки; в, г – влияние сосредоточенной силы

Расчетный прогиб

, (9.1)

где EJ - жесткость балки.

Для рассматриваемой балки расчетный момент

M = qL²/8. (9.2)

Подставляя значение М в формулу (11.1), получим

. (9.3)

Изгибающий момент

M=[σ]_р W, (9.4)

где [σ]_р - допускаемое напряжение; W - момент сопротивления.

Если расчетное сечение симметрично относительно горизон­тальной оси, то W=2J/h,где h - высота балки.

Подставим значение М из формулы (9.4) в формулу (9.3):

(9.5)

откуда

или (9.6)

Высота балки, вычисленная по формуле (9.6), является наи­меньшей при заданных [σ]_р и f/L и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компоновки конструкции или эконо­мии металла. При других нагружениях и системах балок, напри­мер, консольных, многоопорных, с защемленными концами и т. п., в формуле (9.6) изменяется лишь числовой коэффициент. В об­щем случае

. (9.7)

Коэффициенты ψ для балок из низкоуглеродистых сталей приведе­ны в табл.9.1.

Таблица 9.1

Значение коэффициента ψ для балок с различной схемой нагружения

Балки из стали Ст3 для различных элементов конструкций имеют следующие предельные отношения f_max/L, указанные в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Предельные отношения f_max/L

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напряже­ния от моментов М_х и M_v. Сумма (σ_x+σ_v) должна быть меньше [σ]_p. Соотношение между σ_x и σ_v устанавливается приближен­но на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или методом последовательного приближения. При этом задаются ожидаемыми отношениями σ_x/σ_v и затем проверяют их правиль­ность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наимень­шей массы, т. е. поперечное сечение должно быть минимальным.

Высота балки для двутаврового профиля может быть найдена по формуле

h = (1,3-1_,4)√М/(S_B[σ]_p), (9.8)

а для коробчатого

h = √М/(S_B[σ]_p), (9.9)

где S_B - толщина вертикального листа.

При проектировании балок толщина S_B в формулах (9.8) и (9.9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций S_B обычно изменяется в сравнительно узких пределах.

Можно принимать

S_B=√10h_в/12,5; (9.10)

для тяжелых конструкций

S_B=7+ 0,005h_в, (9.11)

где S_B и h_в (рис. 9.3 б) выражены в мм.

Значения h, найденные с учетом требований достаточной жест­кости и прочности, а также при условии наименьшей массы, могут оказаться совершенно различными. Из двух значений, вычислен­ных для балки двутаврового профиля по формулам (9.6) и (9.7) или (9.8) и (9.9), следует принять большее или во всяком случае не меньшее, чем при вычислении по формулам (9.6) и (9.7). Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с уче­том расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис. 9.3 б). Для этого найдем требуемый момент сопротивле­ния:

W_тр =М/[σ]_p (9.12)

и требуемый момент инерции сечения:

J_тр=W_трh/2. (9.13)

Вычислим момент инерции J_в вертикального листа высотой h_в и толщиной S_B. Принимаем h_в=0,95h.

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных ли­стов:

J_г=J_тр-J_в. (9.14)

В другой форме момент инерции выразится так:

J_г =2[J₀+F_г(h₁/2)²], (9.15)

где J_г - момент инерции горизонтального листа относительно соб­ственной оси, который всегда очень мал и может быть принят равным нулю;

h₁ - расстояние между центрами тяжести горизон­тальных листов, которое можно принять равным (0,95 - 0,98) h.

Из уравнения (9.15) находим требуемую площадь сечения одного горизонтального листа:

F_г=2J_г/h²₁. (9.16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим на­пряжения и таким образом проверим, удовлетворяют ли подоб­ранные размеры условиям прочности.

Напряжение от изгиба

σ =Mh/(2J)<[σ]_p. (9.17)

Касательное напряжение от поперечной силы будет

τ =QS/(J∙S_B) ≤[τ], (9.18)

где Q - наибольшая поперечная сила балки; S - статический мо­мент полуплощади сечения (симметричного) относительно центра тяжести балки (рис. 9.3 б).

Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех случа­ях, когда максимальные значения М и Q совпадают по длине бал­ки в одном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вер­тикального листа:

σ_э = √σ²₁ + 3τ². (9.19)

Здесь нормальное напряжение

σ₁= Мh_в/(2·J) (9.20)

и касательное напряжение

τ₁=QS₁/ (J∙S_B), (9.21)

где S₁- статический момент площади горизонтального пояса от­носительно центра тяжести сечения балки.

В большинстве случаев эквивалентные напряжения σ_э оказыва­ются меньше σ, вычисленного по формуле (9.17).

Допустим, что к верхнему поясу балки прикладывают сосредо­точенные перемещающиеся грузы (рис. 9.3 в). Это имеет место в крановых, подкрановых и мостовых балках. При этом определя­ют прочность вертикального листа с учетом местного напряжения под грузом:

σ_м=mP/(S_B·z),(9.22)

где коэффициент m=1,5 при тяжелом режиме работы балки (на­пример, в металлургических цехах), m=1при легком режиме (в ремонтных цехах и т. п.); z- условная длина, на которой со­средоточенный груз распределяется в вертикальном листе (рис. 9.3 в):

z=3,25³√J_п/S_B (9.23)

Здесь J_п - момент инерции горизонтального листа совместно с при­варенным к нему рельсом (если таковой имеется) относительно оси х_п, проходящей через их общий центр тяжести О' (рис. 9.3 г).