Собственные колебания с учетом сил сопротивления

Уравнение собственных колебаний с учетом сил сопротивления получим, полагая равной нулю внешнюю силу в уравнении (1).

(1.17)

Слагаемое учитывает сопротивление движению: сопротивление внешней среды, трение в местах соединения элементов, внутренне трение (неупругое сопротивление материалов) и т.д. В результате колебания, возникшие под воздействием каких-либо причин, с течением времени затухают (см. рис.1.2). В качестве меры затухания иногда принимают отношение амплитуд колебаний через период Но чаще в качестве такой меры принимают логарифм этого отношения

Чтобы найти решение уравнения (9.17), составим характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения:

Рассмотрим различные случаи.

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни; при этом .

Корни характеристического уравнения в этом случае равны:

Уравнение (1.17) в этом случае имеет следующее решение:

, или
	(1.18)

График функции (1.18) показан на рис.1.5.

Отношение амплитуд через период равно:

(1.19)

Логарифмический коэффициент затухания равен

Отсюда Коэффициент пропорциональности “c” в выражении для силы сопротивления, согласно (1.7) равен

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

а) Силы сопротивления уменьшают частоту собственных колебаний.

б) Частота колебаний не зависит от амплитуды.

в) Размахи колебаний с течением времени уменьшаются и колебания затухают.

Корни характеристического уравнения вещественные и разные, при этом .

Корни характеристического уравнения в этом случае равны

,

а уравнение (1.17) имеет следующее решение:

(1.19)

Движение конструкции в данном случае оказалось апериодичным. После отклонения конструкции от исходного состояния равновесия она постепенно возвращается к этому состоянию.

Характеристическое уравнение имеет равные корни, при этом .

Корни характеристического уравнения в этом случае равны:

Уравнение (1.17) имеет следующее решение:

И в этом случае движение является апериодическим.

Случаем пользуются, когда хотят избежать колебаний.

Случай, когда , называют критическим демпфированием. На основании (1.6) коэффициент критического демпфирования . На практике демпфирование часто задают в долях от критического, т.е. представляют коэффициент демпфирования в виде:

Нетрудно выразить коэффициент через логарифмический коэффициент затухания, учитывая, что последний определяется формулой

Следовательно,

Выразим коэффициенты уравнения (1.18) через начальные параметры, т.е. через перемещение и скорость в начальный момент времени (в момент времени t=0).

Находим производную от (1.18):

.

(1.20)

Подставляя t=0 в уравнения (1.18) и (1.20) и приравнивая значения перемещения и скорости величинам и , соответственно, получаем

,

откуда

,

Подставляя найденные значения А и В в уравнение (1.18), получаем

.

(1.21)

ЛЕКЦИЯ 2