Qk – знаменатель k-й подходящей дроби.
16. 6. Алгоритм вычисления Pk и Qk.
= [ a0] Þ P0 = а0; Q0 = 1.
= [a0; a1] Þ P1 = а1 × P0 + 1; Q1 = а1.
= [a0; a1, а2] Þ P2 = а2 × P1 + P0; Q2 = а2 × Q1 + Q0.
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼
= [a0; a1, а2 , … , ak] Þ Pk = аk × Pk – 1 + Pk – 2; Qk = аk × Qk – 1 + Qk – 2
и так далее.
Пример, демонстрирующий технику нахождения Pk и Qk .
Для данной конечной цепной дроби А3 = [4; 3, 1, 2] составьте все подходящие дроби.
Решение.
P0=a0=4, P1=4×3+1=13, P2=1×13+4=17, P3= 2×17+13=47.
Q0= 1, Q1=a1=3, Q2=1×3+1= 4, Q3 = 2×4 + 3 = 11.
Ответ: подходящие дроби А0 = 4/1, А1 =13/3, А2 = 17/4, А3 = 47/11 = а / b.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Преобразовать конечную цепную дробь А4 = [4; 1, 1, 3, 12] в число вида 
.
Решение.
А4 = [4; 1, 1, 3, 12] = 
.
2. Преобразовать данную дробь вида в конечную цепную дробь: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
| а) 53 | 17_ 51 3 17 | 2 16 8 2 | 1 2 2 | б) 26 | 11_ 22 2 11 | 4 8 2 4 | 3 3 1 3 | 1 3 3 0 | в) 916 | 171_ 855 5 171 | 61_ 122 2 61 | 49 49 1 49 | 12 48 4 12 | 1_ 12 12 |
Ответ: а) 
= [3; 8, 2]; б) 
= [2; 2, 1, 3]; в) 
= [5; 2, 1, 4, 12].
3. Для данной конечной цепной дроби составить все подходящие дроби:
а) А3 = [3; 2, 1, 2]; б) А4 = [4; 1, 1, 3, 12].
Решение.
| а) k | 0 1 2 3 | б) k | 0 1 2 3 4 | Ответ:
а) А0 =  ; А1 =  ; А2 =  ; А3 =  ;
б) А0 =  ; А1 =  ; А2 =  ; А3 =  ; А4 =  .
| |
| ak | 3 2 1 2 | ak | 4 1 1 3 12 | ||
| Pk Qk | 3 7 10 27 1 2 3 8 | Pk Qk | 4 5 9 32 393 1 1 2 7 86 | ||
Проверка: 
| Проверка: 
|
.4. Для данной цепной дроби Ап найти числитель Pп – 1 и знаменатель Qп – 1 предпоследней подходящей дроби: а) А3 = [5; 2, 3, 1]; б) А4 = [2; 1, 1, 2, 4]. Сделать проверку.
Решение.
| а) k | 0 1 2 3 | б) k | 0 1 2 3 4 | Проверка::
а) А2 = 5 +  ;
б) А3 =  .
| |
| ak | 5 2 3 1 | ak | 2 1 1 2 4 | ||
| Pk Qk | 5 11 38 1 2 7 | Pk Qk | 2 3 5 13 1 1 2 5 | ||
| Ответ: P2 = 38, Q2 = 7; | Ответ: P3 = 13, Q3 = 5. |
5. С помощью подходящих дробей сократите дроби: а) 
; б) 
.
Решение.
Преобразуем данную дробь в цепную дробь и составим п-ю подходящую дробь Ап .
Тогда получившаяся подходящая дробь Ап совпадёт с видом сокращённой заданной дроби.
а)  = [0; 1, 6, 1, 2, 2]
| б)  = [2; 8, 1, 2]
| Ответ:
а) =  ;
б) =  .
| |
| ak | 0 1 6 1 2 2 | ak | 2 8 1 2 |
| Pk Qk | 0 1 6 7 20 47 1 1 7 8 23 54 | Pk Qk | 2 17 19 55 1 8 9 26 |
Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 633;