Например, в сравнении 6х º 9 (mod 3) 6 3 и 9 3. По теореме 2 оно – тождественное.

13. 6. Теорема 3.

Если сравнение ах º b (mod р) по простому модулю р имеет 2 класса решений, – то оно – тождественное.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Решить сравнение: 23х º 31 (mod 7).

Решение.

Упростим данное сравнение: 23х – 21 х º31 – 28(mod7) Þ 2х º3(mod7). Так как здесь (2; 7) = 1, то сравнение имеет один класс решений. Найдём его.

Й способ решения – способ перебора соответствующих классов вычетов.

Составим полную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Методом перебора найдём, что сравнению удовлетворяет только вычет 5 (проверьте!). Значит, решением сравнения будет один класс вычетов: х º 5 (mod 7).

Й способ решения – использование теорем равносильности сравнений.

2х º 3 (mod 7) Þ 2х º 3 + 7 (mod 7) Þ 2х º 10 (mod 7) Þ х º 5 (mod 7).

Й способ решения – использование формулы (17).

Так как j(т) = j(7) = 6, то Þ х º3×32(mod7) Þ х º96(mod7)

Þ х º (7×13 + 5) (mod 7), откуда х º 5 (mod 7). Ответ: х º 5 (mod 7).

Решить сравнение: 2х º 3 (mod 8).

Решение.

Так как здесь (2; 8) = d = 2 и 3 не 2, – то сравнение не имеет решений.

Ответ: сравнение не имеет решений.

Решить сравнение: 6х º 4 (mod 8).

Решение.

Так как здесь (6; 8) = d = 2 и 4 2, то сравнение имеет d = 2 классов решений по модулю 8 или 1 класс решений по модулю т : d = 8 : 2, т.е. по модулю 4.

1) Разделим обе части сравнения и модуль на число 2, получим: 3х º 2 (mod 4). Здесь (3; 4) = 1, поэтому сравнение имеет один класс решений по модулю 4:

3х º 2 + 4 (mod 4) Þ 3х º 6(mod 4). Так как (3; 4) = 1, то обе части сравнения разделим на 3. Тогда х º 2 (mod 4) – получили 1 класс решений по модулю 4. Запишем этот класс так: x = 2 + 4q, qÎZ. Дадим параметру q два значения (так как d = 2): q = 0 и q = 1. При q = 0 x₁ º 2(mod 8); при q = 1 x₂ º 6(mod 8) – получили два класса решений по начальному модулю 8.

Ответ: х º2(mod4) или x º 2; 6 (mod 8).

4. Решить в целых числах неопределённое уравнение 5х – 9у = 7.

Решение.

1) 5х – 7 = 9у Þ (5х – 7) 9 Þ 5х º 7(mod 9) Þ 5х º 7 + 2×9 º 25 (mod 9) Þ

Þ х º 5(mod 9), откуда х = 5 + 9q, qÎZ.

2) Подставим это выражение для х в данное уравнение:

Þ Þ (qÎZ) –бесконечное множество решений.

Ответ: (5; 2), (14; 7), (23; 17) и так далее.