ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

10. 1. Теорема Паскаля (1623 – 1662).

Даны натуральные числа: т > 1 и n, записанное в t - ичной системе:

, где ai – – цифры: ai ÎN, 0 £ ai £ t –1 (i = 0,1, 2,…, k ), tÎN, t > 1.

Пусть

Итак: из равенства (*) в теореме Паскаля следует, что число n и число сравнимы по модулю т (а значит – равноостаточны при делении на т). Отсюда, в частности, вытекает, что если делится на т без остатка, то и n делится на т без остатка. Поэтому имеет место следствие:

10. 2. Следствие.

Для того, чтобы число n делилось без остатка на число т, необходимо и достаточно, чтобы сумма делилась без остатка на т:

(16)

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Установите в десятичной системе счисления признаки делимости на 3, на 9 и на 11.

1) Признаки делимости на 3 и на 9.

Пусть n = (ak ak – 1 a1 a0)10 = ak ×10k +ak – 1×10k – 1+…+a1×10 + a0, m =3 и m = 9.

1) Найдём bi : по модулю m = 3по модулю m = 9

100 º1(mod3), т.е. b0 =1, 100 º1(mod9), т.е. b0 =1,

101 º1(mod3), т.е. b1 =1, 101 º1(mod9), т.е. b1 =1,

102 º1(mod3), т.е. b2 =1, 102 º1(mod9), т.е. b2 =1,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

10k º1(mod3), т.е. bk =1, 10k º1(mod9), т.е. bk =1,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

2) Составим сумму . В обоих случаях сумма = = (сумме

цифр числа n).

3) Из (16) следует : число n делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа n делится на 3.

Аналогично: n 9 Û (сумма цифр числа n ) 9.

2) Признак делимости на 11.

1) Найдём bi по модулю m = 11: 100 º1(mod11), т.е. b0 = 1,

101 º1(mod11), т.е. b1 = – 1.

102 º1(mod11), т.е. b2 = 1, 103 º1(mod11), т.е. bп = – 1,

¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

2) Составим сумму = a0 ×1 + a1 × ( – 1) + a2 ×1 + a3 × ( – 1) + … =

= (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …) = (k = 0, 1, 2, 3, …). 3) Из (16) следует: n 11 Û ( ) 11, то есть число n делится на 11

тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр числа n , стоящих на чётных местах, и суммой цифр числа n, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Пример. n = 57 926. = (2 + 7) – (6 + 9 + 5) = 9 – 20 = – 11. Так как – 11 делится на 11, то и число n = 57 926 делится на 11.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

160. Проверьте справедливость теоремы Паскаля для числа n = a0+ a1t + a2t2 + ...+ ak tk (t - основание системы счисления, ai - цифры числа n в этой системе) и модуля m, если: а) n = 1999, m = 7; б) n = 758, m = 5; в) n = 2546, m = 6; г) n = 2546, m = 12.

161. Выведите признак делимости в десятичной системе счисления:

а) на 3; б) на 9; в) на 4; г) на 11; д) на 7; е) на 27; ж) на 101.

162. С помощью соответствующих признаков делимости, полученных в предыдущей задаче, установите, делится ли данное число n на число m (все числа даны в десятичной системе):

а) 5378 на 3; б) 236 484 на 9; в) 15 928 на 4; г) 37 585 на 11; д) 4 859 371 на 11; е) 37 394 на 7; ж) 61 153 701 на 7; з) 37 272 698 на 7;

и) 144 343 на 27; к) 28 657 341 на 27; л) 4 572 573 на 101; м) 32943577 на101.

163. Выведите признак делимости на 4 в 8-ричной системе счисления.

164. Выведите признак делимости на 3 в 5-ричной системе счисления.

165. Выведите признак делимости на 8 в 14-ричной системе счисления.

166. С помощью соответствующих признаков делимости, полученных в предыдущих задачах 163 - 165, установите, делится ли данное число n на число m (оба числа записаны в t-ичной системе). Сделайте проверку непосредственным делением.

а) n = (1 7 5 4) 8 на m = (4) 8 ; б) n = (4 1 3 0 2 3 1) 5 на m = (3) 5 ; в) n = (3 7 1 4 )14 на m = (8) 14 .

 

 

Глава 4. СРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ

ПО ДАННОМУ МОДУЛЮ

§ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. РАВНОСИЛЬНОСТЬ СРАВНЕНИЙ

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ | ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 74; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.