Предел и непрерывность функции двух переменных
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.
Введем понятие окрестности точки.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, кроме, может быть, самой этой точки.
Определение 1.6. Число 
называется пределом функции при 
и 
(или, что то же самое, при 
® ), если для любого 
существует 
такое, что для всех 
и 
и, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
. Записывают:
(1.1)
или
.
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому 
стремится к 
(число таких направлений бесконечно). Определения бесконечно малых и бесконечно больших величин являющихся функциями двух переменных, аналогичны соответствующим определениям для функций одной переменной.
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется 
-окрестность точки , что во всех точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа по модулю меньше, чем на 
.
Пример 1.2. Найти предел 
.
Решение. Будем приближаться к 
по прямой 
, где 
- некоторое число. Тогда
.
Функция 
в точке предела не имеет, т.к. при разных значениях предел функции не одинаковый (функция имеет различные предельные значения).
,
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.
Определение 1.7. Функция (или 
) называется непрерывной в точке , если она:
1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;
2) имеет предел 
;
3) этот предел равен значению функции 
в точке , т.е.
или 
.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, например, функция 
имеет линю разрыва 
.
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим 
, 
. Значит, 
и 
. Величины 
и 
называются приращениями аргументов 
и 
. Тогда 
. Величина 
называется полным приращением функции в точке 
.
Определение 1.8. Функция называется непрерывной в точке 
, если полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов и стремятся к нулю, т.е.
.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели для функций одной переменной.
1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФНП
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 1289;