Кривой на плоскости

Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.

Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что или а полюс имеет нулевые полярные координаты.

Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:

(13)

(14)

Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ(φ) или Ф(ρ, φ) = 0.

Пример 1. Найти полярные координаты точек

Решение. Точка лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π/2, причем согласно первой формуле системы (14) Следовательно, что приводит к . Итак, .

Точка B является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, (или ). Найдем полярный радиус (используем (14)):

Тогда Значит, или . Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B или .

Рассмотрим точку . Учитывая, что , а значит, , определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть

Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем , затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению , получим

Значит, .

З а м е ч а н и е. При использовании формулы при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).

Рис. 9

Пример 2. Зная полярные координаты точек , B , , найти их прямоугольные координаты.

Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек.

Значит,

Значит, B(–1, 1).

Значит,

Пример 3.Зная полярные координаты точки ρ = 10, , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А(2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.

Решение.Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка в этой системе координат определена, как М(x_M, y_M).

Рис.10

Очевидно, что

Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как

Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x² + y² = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором где О – центр окружности, М – ее точка.

Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты , Тогда, по определению тригонометрических функций, где . Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.

Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:

1) ρ = 4; 2) ; 3) ρ = 2cosφ.

Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).

1. Поскольку . Возводим в квадрат и получаем – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.

2. Уравнение означает, что , причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, или . Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).

3. Заданное уравнение запишем в виде . Получили . Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению , которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.