Прямая на плоскости
1. Положение прямой L на плоскости относительно прямоугольной системы координат xOy однозначно определено, если задан направляющий вектор 
и радиус-вектор 
некоторой фиксированной точки 
В этом случае радиус-вектор 
произвольной точки 
задается формулой
(15)
где 
Уравнение (15) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.
2. Если 
координаты точки 
, которая лежит на прямой 
, 
координаты направляющего вектора, то прямая задается параметрическими уравнениями
3. Если 
направляющий вектор, такой, что 
, и 
точка, через которую проходит прямая, то верно каноническое уравнение:
(16)
4. Если L не параллельна Ox, то для всех направляющих векторов отношение 
По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке 
уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:
y – y0 = k(x – x0).
В случае, если M0(0, b) – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано так:
y = kx + b.
5. Координаты направляющего вектора 
прямой L могут быть найдены, если известны две точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1) этой прямой: 
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(17)
6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M0(a, 0) и M1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:
7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан нормальный вектор 
этой прямой и точка 
Условие перпендикулярности векторов 
позволяет перейти к векторному уравнению
и затем к его координатной форме:
A(x – x0) + + B(y – y0) = 0 или
Ax + By + C = 0, (18)
где C = –Ax0 – By0.
Уравнение (18) называется общим уравнением прямой L.
8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор 
направленный из начала координат в сторону прямой, т.е.
то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:
xcosα + ycosβ – p = 0,
где p > 0 – расстояние от начала координат до прямой.
Величина δ(M0, L) = x0cosα + y0cosβ – p, где 
называется отклонением точки М0 от прямой L. При этом δ < 0, если M0 и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d(M0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.
От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель
Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле:
(19)
Угол между прямыми может быть найден с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле:
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых.
При этом возможны частные случаи:
Здесь L1 и L2 – прямые на плоскости, для которых 
– угловые коэффициенты соответственно прямых 
и 
.
В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид
ρcos(φ – φ0) = p,
где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1, 2), B(–1, –3), C(2, –1). Найти:
1) уравнение прямой BC;
2) уравнение высоты AH и ее длину;
3) уравнение медианы BM;
4) угол между прямыми BM и AH;
5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине А.
Решение. 1. Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (17). Так как B(–1, –3), C(2, –1), имеем:
Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:
2(x + 1) = 3(y + 3) или 2x – 3y – 7 = 0.
Таким образом, окончательно получаем:
2x – 3y – 7 = 0.
2. Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является 
=(2; –3), т.е. 
ВС . Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Значит, каноническое уравнение прямой AH, согласно (16), имеет вид:
(20)
где А(1, 2) 
АН.
Чтобы найти длину высоты 
АВС, опущенную из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (19):
3. Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:
Получаем M(3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B(–1, –3) и M(3/2, 1/2), используя формулу (17):
.
Если приводить его к общему уравнению, получим
7x – 5y – 8 = 0.
4. Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами
Получаем 
.
5. Пусть точка M(x, y) лежит на биссектрисе AB. Тогда по свойству биссектрисы d(M, AB) = d(M, AC). Запишем уравнения прямым. Получаем
Получаем
.
Аналогично,
т.е. 
.
Используем формулу расстояния (19):
Значит,
.
По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем
.
Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):
Пример 2. Даны две точки A(–3, 8) и B(2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.
Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьшее расстояние между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB¢ (рис. 11) с осью Ox, где B¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A¢B с осью Ox, где A¢ – точка, симметричная А относительно Ox).
Рис. 11
Точки B¢(2, –2) и A(–3, 8) определяют прямую AB¢:
, т.е. 
или 
.
Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений: 
Решаем ее:
Итак, точка М(1, 0) является искомой.
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 614;