Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Даны векторы

Найдите координаты вектора:

1) 2)

3) 4)

1.2. Даны векторы Определите, при каком значении векторы и коллинеарны.

1.3. Вектор образует с ортом угол α. Вычислите координаты вектора на плоскости, если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

1.4. Заданы векторы Вычислите:

1) ;

2) орты векторов

3)

4) координаты вектора .

1.5. Вычислите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

1) 2)

1.6. Найдите угол между векторами:

1) 2)

1.7. Вычислите работу, производимую силой при перемещении ее точки приложения из начала в конец вектора

II уровень

2.1. Известно, что A(2, –7), B(4, 1). Найдите:

1) координаты вектора 2) ;

3) орт вектора

2.2. Даны векторы Определите, при каком значении коэффициента k векторы коллинеарны:

1) и

2) и

3) и .

2.3. Известно, что вектор является суммой векторов Найдите m и n.

2.4. Отрезок с концами в точках А(3, –2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.

2.5. Вычислите скалярное произведение векторов и если:

1)

2) .

III уровень

3.1. Сила разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.

3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы где

3.3. Даны три вершины А(3, –4), В(–5, 3) и С(1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.

3.4. Даны вершины треугольника А(3, –1), В(4, 2) и С(–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.

3.5. Даны вершины А(1, –1), В(2, 1), С(–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(3, –2), В(3, 1), С(4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

3.7. В вершинах треугольника А(1, –1), В(0, 4) и С(2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы. (Указание: для пары масс m₁ и m₂, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении где l₁ и l₂ – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра).

3.8. Даны векторы Найдите вектор лежащий с векторами и в одной плоскости, перпендикулярный вектору равный ему по длине и образующий с вектором тупой угол.

3.9. Представьте ненулевой вектор в виде линейной комбинации векторов и