Обчислення -зображення і -зображення

Для отримання дискретної моделі по еквівалентній схемі АІМ-системи необхідно визначити дискретну передаточну функцію для чого відповідно до формули (20.13) потрібно виконати -перетворення передаточної ПБЧ.

По аналогії з z-перетворенням в -перетворенні

і в -перетворенні

називатимемо оригіналом – -зображенням і -зображенням або модифікованим -зображенням.

зображення і -зображення від основних функцій можна знайти відповідно в табл. 19.1 і табл. 19.2.

Обчислення -зображення і -зображення від дробно-раціональної функції. Хай оригінал має вигляд

де і – поліноми від ступені і відповідно, причому . Якщо всі полюси даної функції (тобто корені рівняння ) різні, то

(20.15) (20.16)

де .

Формула (20.15) виходить з (20.16) як окремий випадок при . А формула (20.16) виводиться наступним чином.

По формулі розкладання маємо

Враховуючи властивість лінійності оператора маємо

По табл. 19.2 (рядок 4) знаходимо

Підставивши цей вираз в попереднє співвідношення, отримаємо (20.16).

Приклад 20.1. Передаточна функція ПБЧ має вигляд Потрібно знайти дискретну передаточну функцію .

Рішення. Полюсами даної передаточної функції (тобто коренями рівняння являються

Якщо містить кратні полюси, то зображення і можна отримати, розклавши на елементарні дроби. У простих випадках можна введенням малих параметрів видозмінити функцію так, щоб вона не містила кратних полюсів, і скористатися формулами (20.15) і (20.16), а потім провести граничний перехід, спрямувавши малі параметри до нуля.

Пример 20.2. Передаточна функція приведеної безперервної частини має вигляд . Потрібно визначити дискретну передаточну функцію .

Дана передаточна функція приведеної безперервної частини має дворазовий полюс . Ввівши малий параметр , перетворимо її до виду

Перетворена передаточна функція має прості полюси , . Похідна . За формулою (20.15) одержуємо

Використовуючи розкладання , де – нескінченно мала величина більш високого порядку, чим (тобто ), одержуємо

Звідси, спрямувавши до нуля, знаходимо

Якщо серед простих полюсів функції є комплексний корінь, то може виявитися недоцільним використання формул (20.15) і (20.16). Це пов'язане з необхідністю перетворення отриманого результату для виключення уявного числа. У всіх випадках, коли використання формул (20.15) і (20.16) неможливо або недоцільно, можна визначити й , розклавши на елементарні дроби.