Обчислення передаточних функцій дискретних систем в загальному випадку

Раніше було розглянуто обчислення передаточних функцій дискретних систем, коли їх еквівалентна схема за найпростішою імпульсною ланкою містить одну безперервну ланка – приведену БЧ [1-9]. Однак може знадобитися обчислення передаточних функцій, еквівалентна схема яких має більш загальний вид (рис. 21.5).

Рис. 21.5 Узагальнена еквівалентна схема дискретної системи

Знайдемо спочатку передаточні функції і . Використовуючи отриману вище залежність між входом простої імпульсної ланки і виходом наступної за нею безперервної ланки (ПБЧ) в дискретні моменти часу, можемо записати

Виключимо з цієї системи

З другого рівняння, а також виключивши з двох рівнянь отримаємо відповідно

	(21.2)
	(21.3)

Тепер знайдемо передаточну функцію щодо виходу . Для цього замінимо в отриманій вище системі з двох рівнянь перше рівняння рівнянням для

Виключивши з цієї системи рівнянь отримаємо

(21.4)

З отриманих формул (21.2) – (21.4) виходить наступне правило: передаточна функція щодо входу і будь-якого виходу рівна передаточній функції прямого ланцюга, що ділиться на одиницю плюс (а при додатному зворотному зв'язку – мінус) передаточна функція розімкненої системи.

Це правило співпадає з правилом обчислення передаточних функцій одноконтурної безперервної системи. Тільки слід мати на увазі, що при обчисленні передаточної функції прямого ланцюга і передаточної функції розімкненої системи безперервні ланки, розташовані за простою імпульсною ланкою, потрібно розглядати як одну об'єднану ланку. Не можна знаходить -перетворення передавальних функцій окремих ланок, а потім отримані результати перемножати.

Обчислення передаточної функції системи, що містить дискретно-безперервний фільтр. Ланку, яка описується рівнянням

називають дискретно-безперервним фільтром.

Переходячи до зображень Лапласа, для дискретно-безперервного фільтру, отримаємо передаточну функцію

(21.5)

Нехай дискретно-безперервний фільтр (ДНФ) включений за дискретним (імпульсним або цифровим) елементом.

Рис. 21.6. Еквівалентна схема дискретної системи з ДНФ

В цьому випадку по еквівалентній схемі (рис. 21.6) для дискретної передаточної функції розімкненої системи маємо

.

Тут є дробно-раціональною функцією від (див. вираз (21.5)). І, як покажемо нижче, в цьому випадку

.

(21.5)

де

.

Дискретна передаточна функція виходить з передаточної функції при підстановці :

(21.6)

Для виведення формули (21.6) співвідношення для передаточної функції ПБЧ має вигляд

.

підставивши вираз для з (21.5), представимо у вигляді

.

Проведемо в обох частинах -перетворення. Використовуючи властивість лінійності -перетворення і формулу

,

знаходимо

Звідси, розділивши обидві частини на суму отримаємо (21.5).

Отже, ми встановили наступну властивість -перетворення: якщо оригінал в -перетворенні містить множник, що представляє дробно-раціональну функцію від то цей множник можна винести за знак оператора виконавши підстановку .

Якщо ДНФ включений перед дискретним елементом, то, враховуючи, що на роботу останнього впливають значення його вхідної змінної тільки в дискретні моменти, в рівнянні для ДНФ можна покласти . Тоді отримаємо дискретний фільтр, передаточна функція якого співпадає з отриманою вище дискретною передаточною функцією дискретно-безперервного фільтра З еквівалентної схеми (рис. 21.7) виходить, що дискретна передаточна функція розімкненої системи виходить такою ж, як і у попередньому випадку.

Рис. 21.7. Еквівалентна схема дискретної системи з ДНФ перед дискретним елементом

Таким чином, отримуємо, що при перетворенні структурних схем дискретний елемент і дискретно-безперервний фільтр можна переставляти один з одним.

Тепер розглянемо більш загальну схему з дискретним фільтром (рис. 21.8). Встановлене вище правило обчислення дискретної передаточної функції замкнутої системи залишається в силі і в даному випадку.

Рис. 21.8. Узагальнена еквівалентна схема дискретної системи з дискретним фільтром

При обчисленні передаточної функції розімкненої системи простий імпульсний елемент з послідовними безперервними ланками можна замінити дискретним елементом і представити її дискретну модель у вигляді послідовного з'єднання двох дискретних ланок. Аналогічно можна поступити при обчисленні передаточної функції прямого ланцюга. Тому передаточні функції прямого ланцюга і розімкненої системи дорівнюють добутку передаточних функцій вказаних двох дискретних ланок. Таким чином, маємо

	(21.7а)
	(21.7б)
	(21.7в)

Приклад 21.1. Нехай у дискретній системі, представленій на рис 4.2 , , , і період проходження імпульсів Потрібно визначити передаточні функції й .

Знайдемо необхідні для визначення необхідних передаточних функцій -зображення. Враховуючи, що поліном , як окремий випадок дрібно-раціональної функції від , можна винести за знак оператора , зробивши підстановку , отримаємо

Підставивши отримані вираження й вираження для у вищенаведені формули, одержимо