Лінійні різницеві рівняння

Рівняння

,

(18.4)

яке отримують з рівняння (18.3) прирівнюванням до нуля правої частини, називається однорідним (кінцевим) різницевим рівнянням, відповідним неоднорідному різницевому рівнянню (18.3).

Використовуючи оператор зсуву рівняння (18.3) можна записати в операторній (символічній) формі

,

або

.

(18.5)

Відповідне однорідне рівняння в операторній формі приймає вигляд

.

(18.6)

Загальне вирішення неоднорідного різницевого рівняння (18.3) має вигляд

,

де – частинне вирішення цього рівняння, що визначає вимушений рух, і – загальне вирішення відповідного однорідного рівняння, що визначає вільний рух.

Вирішення однорідного рівняння шукається у вигляді . Підставивши цей вираз в (18.4), отримаємо

.

Ця рівність буде виконана тотожно відносно якщо

.

Прирівнявши , отримаємо алгебраїчне рівняння

,

(18.7)

яке називається характеристичним рівнянням. Ліва частина цього рівняння виходить з різницевого оператора при невідомій функції в рівняннях (18.5) і (18.6) при заміні на .

Таким чином, вирішенням однорідного різницевого рівняння (18.4) буде

,

де – корінь характеристичного рівняння (18.7).

Якщо всі корені характеристичного рівняння прості (тобто різні), то загальне вирішення однорідного різницевого рівняння (18.4) має вигляд

,

(18.8)

де – довільні постійні. Якщо серед коренів характеристичного рівняння є кратний корінь кратності то йому в (18.8) відповідає доданок

.

(18.9)

Якщо є прості комплексно-зв'язані корені ,то відповідні їм два доданки можна замінити на

,

де – довільні константи.

Приклад 18.1. Знайти загальне вирішення різницевого рівняння

.

Рішення. Частинне рішення шукатимемо у вигляді

.

Підставивши цей вираз в дане рівняння, отримаємо

,

або, після приведення подібних членів

.

Звідси, прирівнявши коефіцієнти при однакових ступенях отримуємо

.

Отже, частинне рішення є

.

Характеристичне рівняння має вигляд

.

Коренями цього рівняння є

Тому загальне вирішення однорідного різницевого рівняння має вигляд

,

а загальне вирішення неоднорідного різницевого рівняння є

.

Приклад 18.2. Визначити вирішення різницевого рівняння

,

за нульових початкових умов .

Рішення. Частинне рішення шукатимемо у вигляді константи . Підставивши цей вираз в дане рівняння, отримаємо

.

Характеристичне рівняння

,

має двократний корінь . Загальне вирішення однорідного різницевого рівняння –

,

і загальне вирішення неоднорідного рівняння –

.

З початкових умов маємо

, .

Вирішивши цю систему рівнянь, отримаємо .

Отже, шукане рішення має вигляд

.