Основні властивості -перетворення

Оскільки -перетворення від можна розглядати як окремий випадок модифікованого -перетворення при , то розглянемо властивості модифікованого -перетворення. Докази приводяться в кінці, після розгляду всіх властивостей.

1°. Лінійність. Модифіковане -перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих -перетворень:

.

Тут – константи.

2°. Теорема запізнювання. Модифіковане -перетворення від функції з аргументом з запізненням визначається таким чином:

,

(19.2)

3°. Теорема випередження. Модифіковане -перетворення від функції з випереджаючим аргументом визначається таким чином:

.

Якщо (початкові умови нульові), то

.

(19.3)

4°. Множення оригіналу на . -перетворення від добутку визначається таким чином:

.

(19.4)

При маємо

.

(19.5)

Користуючись отриманою властивістю, знайдемо звичайне і модифіковане -зображення функції .

Модифіковане -зображення для одиничної функції (19.1) має вигляд

.

Тому якщо в (19.4) припустимо то отримаємо

(19.6)

Звідси при маємо

(19.7)

5°. Множення оригіналу на . -перетворення від добутку визначається таким чином:

.

(19.8)

При маємо

.

(19.9)

Знайдемо звичайне і модифіковане -зображення функції
. Прирівнявши в (19.8)

,

отримаємо

.

(19.10)

При маємо

.

(19.11)

6°. Теорема про згортання. Добуток зображень і дорівнює -перетворенню від згортання їх оригіналів і :

(19.12)

При маємо

.

(19.13)

7°. Теореми про граничні значення. Початкове значення гратчастої функції по її звичайному і модифікованому -зображенню визначається таким чином:

.

(19.14)

Межа за умови, що вона існує, визначається таким чином:

(19.15)

Доказ властивостей z-перетворювання

1°. Лінійність. Згідно визначенню модифікованого -перетворення

2°. Теорема запізнювання. У -перетворенні

,

у правій частині зробимо підстановку :

.

Оскільки функція-оригінал дорівнює нулю при від’ємних аргументах, з останньої рівності отримуємо

.

3°. Теорема випередження. Ця теорема доводиться так само, як і теорема запізнювання.

4°. Множення оригіналу на . Продиференціюємо обидві частини -перетворення

,

по і помножимо на :

.

Віднімемо цей вираз з попередньої рівності, заздалегідь помноживши його на :

5°. Множення оригіналу на . Згідно визначенню -перетворення

6°. Теорема про згортання. Скориставшись визначенням -перетворення, можемо записати

.

За теоремою запізнювання (див. (19.2))

.

Підставивши цей вираз в попередню рівність, знаходимо

Звідси, враховуючи, що при отримуємо

Аналогічно, використовуючи рівність

,

отримаємо

.

7°. Теореми про граничні значення. Представимо -перетворення від функції у вигляді

.

За визначенням функції-оригіналу існують додатні числа і такі, що . Тому

.

При по формулі суми нескінченно убуваючої геометричної прогресії маємо

.

І так як

,

та

.

Звідси при маємо

.

Отже, формули (19.14) доведені.

Тепер доведемо формулу (19.15). Використовуючи властивість лінійності -перетворення і теорему випередження, можемо записати

Ліву частину верхньої рівності можна також перетворити таким чином:

Прирівняємо праві частини отриманої рівності:

.

Звідси отримуємо

,

і при

.