Интегрирование выражений, содержащих

Или .

Они сводятся к тригонометрическим функциям.

Случай 1. .

Замена: (или ).

Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .

Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.

Пример.Вычислить интеграл .

Здесь , потому что .

Замена . Корень при этом превратится в .

Итак, = = = .

после обратной замены, это .

Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .

Ну а тогда косинус равен .

= = .

Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.

Пример.С помощью данной замены доказать формулу из таблицы интегралов:

Сделаем замену , тогда = = = , и обратная замена приводит к .

Случай 2. .

Здесь замена (либо аналогично ).

Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,

= = = = = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.

Случай 3. .

Замена (либо ). Как действует такая замена.

, = = = = = . .

Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.

А тогда уже 2-я замена после этого приведёт к рациональной дроби, для которых затем разложение на простейшие. То есть, здесь бывают задачи, которые решаются в 3 шага, рассмотрим их на практике.

ЛЕКЦИЯ № 3. 28. 02. 2017