Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть рассматриваются интегралы типа . Если там есть ещё и зависимость от или , то всё равно их можно записать через синус и косинус, поэтому можем считать, что вид именно такой: именно

Универсальная тригонометрическая подстановка и её применение.

Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она иногда приводит к громозким вычислениям, зато универсальна. При этой замене:

, , , .

Докажем формулы, по которым преобразуются синус и косинус.

Можно записать по формуле двойного угла, рассматриввая целый угол как удвоенный половинный:

= = чтобы всё выразилось через , которое равно желательно добиться того, чтобы синус и косинус половинного угла делились друг на друга. Для этого мы можем поделить и домножить на косинус ещё раз:

= = .

Вспомним, что , тогда далее получается

= .

Аналогично = = =

= = .

Пример. Вычислить интеграл. .

Решение. = .

Свели к рациональной дроби. Далее, преобразуем её: = = =

= = =

= .

Сделаем обратную замену, и получим ответ:

= .

Как видим, при действии универсальной тригонометрической подстановки могут получаться громоздкие 4-этажные дроби. Поэтому для различных частных случаев, где функция обладает какими-то свойствами чётности, придумали другие подстановки.