Свойства определённого интеграла.

1. .

Это свойство часто бывает нужно при заменах переменной в определённом интеграле. Так, например, если замена , то большему будет соответствовать меньшее и наоборот. То есть, интеграл получится от большего числа до меньшего, и надо будет поменять пределы интегрирования обратно, и при этом сменится знак.

2. .

Кстати, свойство верно даже в том случае, если , тогда просто получится, что интегралы по и взаимоуничтожатся.

Следующие два свойства относятся к уже знакомому понятию «линейность»: можно вынести константу и интеграл от суммы функций разбить на сумму двух интегралов.

3. и 4. .

5. Если то .

Действительно, если в интегральной сумме все числа положительны (отрицательны) то и сумма положительна (отрицательна).

6. если то .

Свойство 6 следует из 5, ведь можно рассмотреть .

Свойство 7.

(Модуль интеграла меньше или равен, чем интеграл модуля).

Действительно, если сначала вычислить интеграл, то площади, расположенные выше и ниже оси, частично вычитаются, и число получается меньше. А если заранее взять модуль функции, то эти площади не вычитаются, а складываются:

Равенство здесь возможно лишь в том случае, когда в области интегрирования функция нигде не меняет знак.

Свойство 8. Если то .

Площадь прямоугольника, соответствующего минимальной высоте графика функции, это и есть , что меньше, чем площадь криволинейной трапеции, а наоборот, больше, ведь это площадь прямоугольника, соответствущего максимальной высоте графика.

А теперь представьте себе, что высота прямоугольника плавно растёт от до . Площадь при этом растёт от до значения . Но ведь значение интеграла между этими числами, следовательно, при какой-то высоте , площадь растущего прямоугольника сравняется со значением интеграла.

Свойство 9. Существует такое , где , что .

Свойство 10. Если f непрерывна, то существует точка , такая, что: .

Отличие от прошлого свойства в том, что это среднее значение не просто существует, а ещё достигается в какой-то точке, то есть обязательно найдётся точка графика на этой высоте. Для разрывной могло быть и не так: например, если ступенчатая функция на одной половине отрезка навна 1, а на второй половине 2, то средняя высота графика 1,5 но ведь график нигде не проходит через эту высоту.

Основной формулой в теме «определённый интеграл» является формула Ньютона-Лейбница . Она позволяет сразу же вычислить определённый интеграл, если известен неопределённый.

Но на самом деле, связь между этими двумя видами интегралов двусторонняя, т.е. и неопределённый интеграл может быть вычислен с помощью определённого. А именно, если рассматривать функцию то есть определённый интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Функция является первообразной от функции .

Доказательство. Нужно доказать, что .

Рассмотрим подробнее производную функции . По определению,

.

В данном случае, это , по свойству 2, интеграл по отрезку можно представить в виде суммы двух интегралов, а именно, по и . Чертёж:

При этом интеграл по там в разности есть ещё и со знаком «минус», то есть он в итоге сокращается.

= .

По свойству 10, интеграл по отрезку можно представить как некоторое среднее значение, т.е. в какой-то точке , умноженное на длину отрезка.

В общем случае длина была равна , а для данного отрезка это просто . Тогда: = = .

Однако точка , поэтому при , точка , которая находится где-то между и , стремится к левой границе отрезка: . Поэтому в итоге = .

Теорема 2. (Ньютона-Лейбница). Если - какая-либо первообразная от , то верна формула: .

Доказательство. Если есть произвольная первообразная, то она отличается на какую-то константу от той первообразной, которую мы рассматривали в теореме 1. То есть , что означает

. Запишем это равенство в точке , получится но ведь интеграл по одной точке это 0, там нулевая длина основания, а значит и нулевая площадь. Тогда . вот, кстати, мы заодно и установили, как связана константа с выбором начальной точки .

, а на сколько по высоте отличается от любая другая первообразная - это и есть значение .

Итак, теперь ясно, что .

А теперь рассмотрим это выражение в точке .

, то есть . Но ведь переменная вводилась исключительно для того, чтобы отличать внутри функции и на верхнем пределе интеграла. Теперь, когда перешли к фиксированным границам в интеграле, можно сделать тривиальную замену и запись примет вид , что и требовалось доказать.

Примеры вычисления по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример. Найти интеграл .

Решение. = .

Пример. Найти интеграл .

Решение. = .

Пример. Найти интегралы и .

Решение. = .

= .

Пример. Найти интеграл .

Решение. = = = .

Пример. Найти интеграл .

Решение. = = .

Вид формулы интегрирования по частям для определённого интеграла: .

Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену).

Пример. Вычислить интеграл

Решение. При замене мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если , то = .

Тогда = = = 8.

Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене отобразится в . Но, как правило, при замене верхний и нижний предел интегрирования тоже изменяются.

Замена в определённом интеграле должна задаваться взаимно-однозначной функцией , то есть монотонной функцией. Иначе можно столкнуться с такими парадоксами: например, , интеграл от 0 до . Тогда по переменной получаем интеграл по промежутку , и он был бы в любом случае равен 0. Чтобы избежать такого противоречия, надо было бы разбить исходный интеграл по переменной на 2 части, по и .