Приложения определённых интегралов.

Пункт 1. Вычисление площадей фигур.

Так как площадь криволинейной трапеции связана с интегралом, то это приложение очевидно. Но есть особенности, связанные со строением геометрической фигуры, в некоторых случаях надо разбить фигуру на несколько частей.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построим чертёж:

Так как верхняя граница после точки 1 переходит с одной кривой на другую, то придётся разбить на сумму двух вычислений по каждой части отдельно: + . Итак, получим = = = .

Пункт 2. Вычисление объёмов тел вращения.

Если график функции вращать вокруг оси 0x, то получится так называемое тело вращения. Каждое сечение плоскостью, паерпендикулярной оси 0x , это круг, его площадь равна , так как это как раз и есть радиус (равно удалению вращающейся точки от оси вращения). В итоге, .

Пример. Вывести этим методом формулу объёма шара .

Решение. Чтобы получить шар, достаточно вращать верхнюю полуокружность, которая задаётся такой функцией: .

= = =

= = .

Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.

Формула для явно заданной кривой: .

Доказательство.Разобьём область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.

Длина фрагмента кривой приближённо равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет то вертикальный равен . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна:

= = .

При переходе к пределу при , получится .

Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина , и тем больше корень и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то = . Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть .

Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой вид: .

В трёхмерном пространстве: .

Длина кривой в полярной системе координат.

Пусть кривая задана формулой .

Тогда: .

Доказательство этой формулы. Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:

Теперь применим параметр таким же образом, как в прошлой формуле был параметр .

, .

Найдём производные:

Их надо подставить в формулу: .

применим формулу сокращённого умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:

=

+

=

=

.

Поэтому и получается в итоге: .

ЛЕКЦИЯ № 4. 07.03.2017