Приложения кратных интегралов.

Если то при вычислении интеграла получится просто площадь области D (если двойной интеграл) или объём области (если тройной интеграл). Физический смысл: если плотность равна 1, то масса как раз и равна объёму.

Для сравнения, для определённых интегралов было то же самое, только там получалась длина отрезка: .

1) Вычисление площадей фигур (двойной интеграл).

2) Вычисление объёмов тел (тройной интеграл).

Примеры с будут чуть позже, после изучения полярных и сферических координат.

3) Площадь поверхности.

Формула площади явно заданной поверхности:

.

Доказательство. Разобьём область определения на прямоугольники небольшого размера, со сторонами и . Над таким прямоугольником есть часть поверхности, за счёт малости размера она очень близка к касательной плоскости. Рассмотрим параллелограмм на касательной плосоксти и вычислим его площадь. Его стороны это векторы и . Рассмотрим подробнее, какие у них координаты.

направлен по касательной в сечении, параллельном оси , то есть тангенс угла наклона для него это . Тогда его координаты: = . Аналогично вектор расположен в сечении вдоль оси , его координаты , если вынести дельта, то это . Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения (вспомните 1 семестр, векторная алгебра и геометрия).

= , модуль этого вектора: .

Вспомним, что мы вынесли за скобку коэффициенты и . Поэтому

в интегральных суммах получается . Тогда при переходе к пределу, будет интеграл: , где D это область определения в горизонтальной плоскости (то есть область, над которой расположена поверхность).